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雙同態

雙同態(bihomomorphism)是一種特殊的同態。指雙模之間的同態。設G與G’是兩個羣，如果有一個由G到G’的映射σ，使σ (ab)=σ(a)σ(b)對所有的a，b∈G都成立，那麼就説G同態於G’，記作G～G’。適合上述條件的映射叫做同態映射(或簡稱同態)。羣G到自身的同態叫做自同態。

雙同態概念

雙同態(bihomomorphism)是一種特殊的同態。指雙模之間的同態。設有(A，B)雙模M和N，若f是加羣M到N的映射，並且f是A同態同時又是B同態，則稱f是(A，B)雙模M到N的一個雙同態。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：^[1]

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態，而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。^[2]

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M。給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射：μ： A→End(M)，　a→a_M。

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模。

一類重要的模。指帶有兩個算子環的模。設A，B是環，M是A模又是B模，若用A的元素去作用(乘M的任一元)，與用B的元素一起去作用時其順序是可換的，則稱M是(A，B)雙模。例如，若M是左A模，右B模，並且還滿足：

(ax)b=a(xb)，　a∈A ，b∈B，x∈M，^[3]

則M為左A右B雙模，記為_AM_B。任意左A模M都可作為左A右Z雙模，又可作為左A右End_AM雙模。

參考資料

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