伯努利數

在數學上，伯努利數是一個有理數數列，在許多領域都有很大的應用。其定義方式也是多種多樣，最常見的有以下兩種定義方式。

設伯努利數為

，他用很多種定義方式，其中利用生成函數定義為：

這裏

。 ^[1]  ，利用生成函數定義，我們可以計算前9項伯努利數。列舉如下：

注意到，當

為奇數的時候，除了

以外，其餘都是0。 ^[2] 

（其中

在某些書本上採用

，只需將生成函數改為

）

利用遞歸定義伯努利數：

其中

表示當

時，取1，其餘取0。

。

一般地，n≥1時，有

;n≥2時，有公式

可用來逐一計算伯努利數。伯努利數在數論中很有用。例如，對於佩爾方程-=-4（≡1(mod4）是素數），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解

滿足，1960年，L.J.莫德爾證明了在≡5(mod8）時，S.喬拉證明了在≡1（mod8）時，上述猜想等價於伯努利數B（（p-1）/2）的分子不被整除。伯努利數還可用於費馬大定理的論證中。設n>3，如果伯努利數B,B，…，B（

在求前n項和的方法上，利用Bernoulli生成函數的定義，我們可以得出一般的p次方前n項和公式，自然，在證明過程中伯努利數有重大的作用。

要求下式的前n項和：

如:

下面我們來推導一般公式：

注意到伯努利數的生成函數定義，我們有：

對照係數即得：

證畢。

德國數學家E.E.庫默爾證明了：當為正規素數時，費馬大定理成立。不難計算當3<<100時，除開37,59,67以外，其餘的素數都是正規素數。因此，在費馬大定理的研究中，庫默爾的結果是一項突破性的工作（見不定方程）。儘管有許多判別正規素數的法則，但是，是否有無窮多個正規素數，尚未解決。而非正規素數有無窮多個，早在1915年就被人們所證明。

根據等冪和與判別素數的充要條件，獲得了伯努利數與判別素數的充要條件，並利用所得結果對居加猜想進行了討論，證明了：若

（P－1）≡－1（modp）成立，則P是素數或者P=P1、P2…PS是絕對偽素數，並且P||

的分母，P|（P||

+1）的分子；

≡1（mod

）；

1/

－1/P是整數；在2≤2m≤（p/5－1）內必存在偶數2m，使得對每個

均有

－1|2m，P|

的分母，P|（P

+1）的分子。 ^[3] 

double Bernoulli(int x)//伯努利數 ^[4] 

{

int k=x;

double B=0;

if(x==0)

{

return 1;

}

else

{

if(x>1&&x%2==1)

{

return 0;

}

else

{

while(k)

{

k--;

B += -1.0 * ( Factorial(x) * Bernoulli(k) )/( Factorial(x-k) * Factorial(k) * (x-k+1) ) ;

}

return B;

}

}

}

double Factorial(int x)//階乘

{

if(x==1||x==0)

return 1;

else

return 1.0*x*Factorial(x-1);

}