應用數學學科

（一）主要研究內容

非線性偏微分方程是現代數學的一個重要分支，無論在理論中還是在實際應用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學、控制過程、生態與經濟系統、化工循環系統及流行病學等領域的問題。利用非線性偏微分方程描述上述問題充分考慮到空間、時間、時滯的影響，因而更能準確的反映實際。本方向主要研究非線性偏微分方程、H-半變分不等式、最優控制系統的微分方程理論及其在電力系統的應用。

⒈非線性偏微分方程的研究：主要研究偏微分方程解的存在唯一性（和多解性）及穩定性；偏微分方程的初值問題、初邊值問題的整體解（包括週期解和概週期解）的存在性及漸近性；平衡解的存在性，尤其是當問題依賴於某些參數時平衡解的分叉結構，以及平衡解的穩定性問題；非線性方程的數值解。

2．H－半變分不等式的研究：建立具有極大單調算子擾動的多值（S）型和偽單調型映象的廣義度理論，廣義不動點指標理論和具有非凸、不可微泛函的非線性發展型H－半變分不等式理論，由此來研究含間斷項的非線性偏微分方程。

3．最優控制系統的微分方程理論及其在電力系統的應用：主要研究與電力生產有關的控制系統的理論和應用。首先提出了對Banach空間中抽象非線性發展方程所描述的最優控制系統的研究。引進非光滑分析，研究最優控制系統的微分方程，利用變分不等式理論研究多值問題、數值計算等，所獲理論成果應用於電力系統的許多最優控制問題（如：電力系統勵磁調節器傳遞函數的辨識、牛頓最優潮流的數學模型等）。

（二）研究方向的特色

⒈ 變分不等式理論與能量泛函的凸性密切相關，由於現代科學技術的需要，特別是研究自由邊界和固體力學問題的需要，傳統的方法往往都無法解決這類問題，人們對H-半變分不等式進行研究，研究涉及現代分析及應用、偏微分方程以及科學計算等眾多領域中亟待解決和發展的重要課題。

2．該研究是現代數學與電力生產的交叉學科研究課題，它對電力生產及管理有着十分重要的理論指導意義和實際應用價值，為控制系統設計、分析和計算都可提供一些重要的理論依據。在應用數學學科的這一研究領域中本課題屬於國內外前沿性研究工作。

（三）可取得的突破

1．深入研究空間、時間、時滯對解的性質的影響，諸如靜態解、週期解的存在性、解的存在性、漸近性等問題；尋求它們在含間斷項的非線性偏微分方程方面的突破。

2．尋求和發現新的處理非單調、非凸不可微能量泛函的方法（如建立Ishikawa迭代序列收斂準則），建立發展型方程G－收斂準則，尋求可行的光滑方法將算子方程光滑化，創建新的先驗估計方法。

3．應用現代數學所獲得的理論，研究最有控制系統的微分方程，為控制系統設計、分析和計算提供一些重要的理論依據和方法。

（一）主要研究內容

拓撲學是數學的一個重要而比較年輕的學科分支，可以分成一般拓撲學，代數拓撲學，微分拓撲學三個大分支。50年代後期以來，拓撲學的發展及其對數學的發展和其他學科發展起推動作用。本方向主要研究拓撲學中奇點理論、拓撲空間及其映射的性質以及分支理論中的若干課題及應用。

⒈ 奇點理論是微分拓撲學的一個重要分支。20世紀由著名法國數學家R.Thom 開創的奇點理論，經 J.N.Mather,V.I. Arnold 等數學家的傑出工作已取得了巨大的成就。在幾何學應用方面，幾何微分方程及其幾何解方面的應用、應用奇點理論和接觸幾何研究偏微分方程問題，都取得了十分重要的結果。

致力於這些嶄新課題的研究，在一階偏微分方程組幾何解奇點的分類、奇異解的性質和幾何解的實現等方面，做了許多工作，作為第一和第二主要成員參加國家自然科學基金項目2項,主持省自然科學基金項目1項，主持省教育廳重點基金項目1項，主辦小型國際學術活動1次。也取得了一些達到國際先進或國內領先水平的結果。由於這些研究，曾多次應邀參加國際學術會議。獲得湖南省科技進步二等獎。將繼續這方面的研究。

⒉ Golubistky 等人於1979引入了應用奇點理論研究微分方程分支問題，近年來國內外已經出現了大量的理論和應用研究成果。從一開始就緊跟研究前沿的步伐，用奇點理論研究了幾類非線性邊值問題，得到若干關於分支解存在性的結果，並應邀參加國際學術會議進行報告。這方面還有大量的工作可以進行，特別是可以與電力系統穩定性問題的研究相結合。

⒊ 拓撲空間及其映射的性質是一般拓撲學研究的重要分支之一，主要研究拓撲空間的結構和拓撲空間之間的映射的有關性質。近年來主要研究有關度量空間的映射像的若干性質。並取得了一些引人注目的成果，在國外重要學術刊物上發表或待發表論文多篇。

（二）研究方向的特色

通常在奇點理論中研究Legendrian奇點不考慮對稱性，而將等變奇點理論與Legendre奇點的研究結合起來。在對偏微分方程及其幾何解的研究和分類研究中，側重對更一般的方程分類，並試圖對分類後幾何解的性質的作進一步的研究，這在以往的研究中尚未及開展。特別，近十年來奇點理論應用於偏微分方程的幾何理論這一領域中通常研究的是一階方程，而今後的發展將必然以二階偏微分方程為趨勢，因此研究方向在研究方法、對象等方面都有創新意義和特色。

研究需要將現代拓撲、微分方程與幾何、代數相結合，並且還要藉助計算機進行計算或驗證，反映了現代數學研究不同分支互相參透的綜合趨勢，體現了數學的統一性，因而具有交叉學科研究性質。

此外拓撲學理論在計算機圖形圖像的應用在國際上開始的時間不長，還處於起步階段，可以期待在方法上、理論上有所突破，有所創新。

（三）可能取得的突破

⒈ 在對偏微分方程及其幾何解的研究和分類研究中，側重對更一般的方程分類，並試圖對分類後幾何解的性質的作進一步的研究。

⒉ 用奇點理論研究非線性邊值問題，爭取對邊界出現分支的問題取得成果。

⒊ 把對拓撲空間及其映射的性質的研究結果用於研究計算機圖形圖像及電力和交通工程中的應用問題。

（一）主要研究內容

在當今科學與工程計算中，存在大量的非線性優化、方程的求解、最小二乘和特徵值計算等問題。如何藉助於現代化的計算工具對這些問題設計出高效的計算方法，並應用於一些實際問題是主要研究內容。

研究工作將集中於下列方面：

1．優化計算方法及其應用：研究約束非線性光滑與非光滑方程的數值求解方法，約束最優化問題的高效算法，理論上分析所建立數值方法的性質及實際計算表現。由於電力系統中的安全與穩定性可用非線性方程系統和優化模型描述，將運用數學上新的數值方法分析電力系統的安全和穩定性，以適應電力系統市場化改革的需要。

2．應用數值線性代數（也稱矩陣計算）問題：它是科學與工程計算的核心，主要涉及三大問題：線性代數方程組問題，線性最小二乘問題和特徵值問題。的研究工作將集中在大型線性方程組並行算法、病態方程組的預處理方法、結構矩陣的特徵值和最小二乘問題的快速算法等方面。

3．約束矩陣方程問題：約束矩陣方程問題包括矩陣逆特徵值問題、矩陣最小二乘問題、矩陣擴充問題及其最佳逼近問題等。將研究約束矩陣方程的可解性，解的性質，數值方法及在結構設計、動力系統模型修正等許多工程實際中的應用。

（二）研究方向的特色

1．在最優化計算方法的研究中，均考慮了約束情況，不僅使問題有一般的結構，且更符合實現應用背景。另外，電力系統安全穩定的應用分析，對推動當前電力工業的改革具有重大的現實意義。

2．矩陣計算所研究的內容與許多工程問題密切相關，尤其在信號處理方面，經常碰到大規模問題、病態問題和結構矩陣問題。因此，研究無論在理論還是應用都很重要。

3．約束矩陣方程的研究既利用了矩陣理論的矩陣分塊、分解和降階等技術，又提出了新的矩陣和矩陣理論。

（三）可能取得的突破

1．建立約束非光滑方程系統的具有超線性收斂的數值方法；對大規模約束非線性優化問題根據解耦方法建立高效且有理論保證的算法；運用新的數學方法實現電力系統安全穩定運行中的可用輸電能力、阻塞管理等問題的在線分析。

2．程應用中經常出現的一些特殊的矩陣計算問題設計有效的快速算法，並從理論上進行分析，形成高水平的學術成果。

3．新的矩陣集合約束下的矩陣方程或新類型矩陣方程的解的相關問題；提出新的高效數值方法；用已有的約束矩陣方程理論解決某些工程實際問題。

（四）主要學術帶頭人簡介

童小嬌：教授，博士，主要從事非線性方程系統和非線性優化問題數值方法、電力系統安全穩定性的研究。先後主持或參加了國家自然科學基金、湖南省自然科學基金、湖南省教育廳優秀青年等多項課題的研究，並參加了國家973項目《中國大電力系統災變防治與經濟運行若干重大問題的研究》的工作，近6年來在重要刊物上發表論文30多篇。

（一）主要內容

在馬爾可夫過程、隨機分析、數理金融、應用數理統計等領域具有較厚的研究基礎，取得了大批在國內外頗具影響的重要研究成果。特別是李應求教授及其領導的課題組在兩參數馬氏過程、隨機環境中的馬氏鏈及分支過程和相關函數方程等方向上的科學研究；以及在 IC卡操作系統、IC卡應用集成技術的研究方面，在人力資源管理、電力負荷預報、交通隨機模型、金融風險模型等領域取得了卓有成效的應用。研究工作將主要集中於下列方面：

1．隨機環境中馬氏鏈理論的研究：隨機環境中馬氏鏈是當代隨機過程研究的熱點，已取得了豐富的成果，但這些工作都有待深入和拓展。在這方面主要研究其一般理論如不可約性、常返性、瞬時性及其相應的鏈的性質，大偏差理論，遍歷理論，有關開問題等；一些具體過程如隨機環境中分枝過程、隨機遊動、單生鏈、超過程等的性質。在這方面的研究將進一步完善隨機環境中馬氏過程的整個理論體系。

2．兩參數馬氏過程理論研究：兩參數馬氏過程是當代隨機過程研究的另一熱點，已取得了豐富的成果，但研究進展緩慢，特別是兩參數馬氏過程樣本軌道性質的研究。究其原因主要是由於此時過程的時間參數無全序關係，在單參數馬氏過程研究中使用的首達時、無窮小算子等的方法已無法借鑑，需要引進新的概念和方法，但在此方面仍無突破性進展。

3．應用研究：課題組已成功地將概率統計應用於廣西電力局短、中、長期電力負荷預測及其所屬的桂林電力局短、中、長期電力負荷預測，取得了很好的經濟效益和社會效益，將總結經驗，繼續做好這方面的應用研究。此外，正開展將概率統計應用於人力資源管理方面，圖像處理方面和金融等國民經濟領域中的應用研究。

（一）主要研究內容

本方向主要研究實、複分析中的幾何函數論，亞純函數的值分佈論以及調和分析中的若干課題及應用。

⒈幾何函數論是一個經典的研究領域，曾經吸引了許多數學家的高度關注。自上世紀七、八十年代以來，隨着卷積理論、微分從屬、分數次微積分算子以及極值點、支撐點理論的應用，幾何函數論的研究又重新煥發了青春。致力於這些嶄新課題的研究，在卷積算子、微分從屬、分數次微積分算子與單葉函數論的結合研究方面，做了大量工作，也取得了許多重要結果，曾獲得湖南省優秀自然科學論文一等獎。將繼續這方面的探索，並已在將有關結論向擬共形映射和多複變函數拓廣方面做了一些工作。

⒉亞純函數的值分佈論自上世紀二十年代創立以來，一直是複分析研究中的一個熱門課題。特別是近一、二十年來，關於亞純函數的唯一性理論，微分方程的復振盪理論更是吸引了眾多數學工作者的關注。從一開始就緊跟研究前沿的步伐，在亞純函數的4值問題的研究方面取得了突破性進展，在將亞純函數的唯一性與微分方程的復振盪的結合研究方面，做了一些嘗試性的工作。

⒊調和分析是分析數學的主要分支之一，它主要是利用分析的工具研究函數空間的結構和積分算子在函數空間上的有界性，交換子就是其中的一類重要算子。由於交換子可用於刻畫某些函數空間，並在微分方程理論中有許多重要應用，因此研究與各種積分算子相關聯的多線性算子（交換子的非平凡推廣）在各類函數空間中的有界性，就成為近些年來十分活躍和熱門的研究課題。主要研究關於多線性算子的加權有界性，多線性算子在Hardy空間和Herz空間的有界性等等，並取得了一些引人注目的成果，在國內外重要學術刊物上發表論文多篇。

⒋複分析理論在交通、電力工程中的應用。曾經應用複分析理論研究了路面温度場的問題，解決了一個彈性體中的温度應力分佈問題，以此研究作為一個子課題的“七﹒五”攻關項目曾獲得交通部科技進步一等獎。將繼續開展這方面的研究工作。

（二）研究方向的特色

⒈幾何函數論與微分方程、特殊函數的結合研究，共形映射與擬共形映射的結合研究，可以突破一些技術難關，從而能更為有效的獲得一些經典的結果和新結果，創立一些新方法。

⒉亞純函數的唯一性理論與微分方程的復振盪研究的結合，有可能獲得微分方程復振盪理論的一些新結果。

⒊關於多線性算子的各種有界性的研究，是調和分析中的一個最新研究課題。

⒋着眼於上述幾個分支的相互關聯、相互滲透關係的探索與研究，以期從一個更高的角度來從事相關課題的研究，從而在方法上，理論上有所突破，有所創新。

（三）可能取得的突破

⒈深化微分從屬與單葉函數的結合研究的理論與應用，並由此解決單葉函數論中的幾個難題。

⒉將亞純函數的唯一性理論應用於微分方程的復振盪理論的研究，獲得其振盪性質的新結果。

⒊獲得若干多線性算子在一些函數空間上的有界性結果。

（一）主要研究內容

代數學是數學的一個重要的基礎分支。傳統的代數學有羣論，環論，模論，域論，線性代數與多重線性代數（含矩陣論），有限維代數，同調代數，範疇等。代數學的發展有幾個特徵：其一是與其它數學分支交叉，例如與幾何，數論交叉產生了代數幾何，算術幾何，代數數論等數學主流方向，矩陣論與組合學交叉產生了組合矩陣論。其二是代數學與計算科學，計算機科學的交叉，產生了計算代數，數學機械化，代數密碼學，代數自動機等新的方向。隨着計算科學的發展，矩陣論仍處在發展的階段，顯示出其生命力。其三是一些老的重要代數學分支從代數學中獨立出來形成新的數學分支，如李羣與李代數，代數K理論。而一些老的代數學分支（如環論）己不是熱點了。

1．矩陣幾何及應用：矩陣幾何的發展主要有三個方面：一是將矩陣幾何的研究推廣到有零因子的環上； 二是將矩陣幾何基本定理中的條件化簡或尋找其它等價條件，並找出特殊情況下的簡單證明；三是將矩陣幾何的研究範圍擴大到保其它的幾何不變量以及無限維算子代數中。近幾年的研究重點在環上矩陣幾何與算子保持問題。

2．環上矩陣論及應用：四元數與四元數矩陣論在物理學，力學，計算機科學，工程技術中具有較好的應用，受到國內外工程技術界的重視。矩陣方程在很多實際問題（例如控制論， 穩定性理論）中有重要的作用，也是長期的研究熱點。將研究環上矩陣論與四元數矩陣論的一些尚未解決的重要問題，帶約束條件的矩陣方程求解理論，並討論它們在實際問題中的應用。

3．羣論及應用：羣論是代數學的基礎，也是物理學的基本工具。典型羣是羣的一種很重要的類型。將研究環上典型羣的一些重要問題，用羣的算術條件（如：羣的階及元素的階，特徵標次數，共軛類長等）刻畫羣的結構，並對它們進行分類。研究數域或整數環上一般線性羣的有限子羣，用羣的某些算術條件刻畫羣的結構並對其進行分類。

4．Clifford代數，Hopf代數及應用：Clifford代數，Hopf代數已成為物理學中的熱門工具。二維Clifford代數就是四元數。研究Clifford代數， Hopf代數的一些重要的問題，並討論它們在實際問題中的應用。

5．代數學在計算機科學與信息科學的應用：隨着信息化進程與因特網的深入與飛速發展，信息安全問題日益重要，保護網上信息安全是一個重要的新課題。主要採用加密技術與數字鑑定，實際上是數學技術，主要用到代數學，組合數學與數論。圖像壓縮處理是信息處理中的一個困難和重要的問題，在代數學方面有較好的基礎。

（二）研究方向的特色

1．矩陣幾何是數學大師華羅庚開創的一個數學研究領域，並由中國數學家萬哲先院士等繼承和發展，屬於代數幾何的範疇，“具有中國特色”。在此領域的研究處於國內較高水平。

2．隨着計算機科學的發展，環上矩陣論成為重要的數學工具，也是今後代數學研究的重要方向之一。

3．隨着互聯網的迅猛發展，信息安全日益重要，而近年來代數自動機是計算機科學與代數學交叉的一個研究方向。因此，它們的基礎理論研究特別重要。

（三）可取得的突破

繼續保持矩陣幾何與矩陣論研究的國內較高水平，根據本院的實際情況，發展羣論，Clifford代數，Hopf代數，代數自動機，代數密碼學等新的研究方向，爭取在這些新的方向上得到一些有學術影響的成果。

總的來説，人們乘坐的先進、舒適的大型噴氣客機的設計就離不開數學：機翼和機身通過分析計算才能確定它們的最佳形狀；飛機的結構通過數學嚴格的校驗才能確保有足夠的強度；飛機發動機事先要用數學方法對其氣動和機械性能進行分析和優化才能確保安全高效地運行、……。

如今數學不僅在各門自然科學和製造業、信息業、服務業等各種行業中有廣泛的應用，而且在國民經濟的規劃和預測，自然資源的勘探、開發和保護，交通和物資調配，氣象預報和各種災害的預報、防治以及醫學和社會科學的許多領域中乃至日常生活中都顯示出舉足輕重的作用。這一切促使人們對數學的重要性有了新的和更加深刻的認識。

在這樣的背景下，以計算機為工具、應用數學知識解決實際問題的能力將成為新世紀青年重要的科學素質。青年學生應自覺提高這方面的能力，迎接未來的挑戰；數學教育工作者也應加強這種素質的培養。

用數學解決實際問題除了掌握必要的數學基礎知識以外還必須具備一定的能力。這裏，需要將現實問題歸結為數學問題（又稱建立數學模型或數學建模），然後選擇合適的數學方法加以求解；對求得的結果用適當的方法加以驗證；最後將結果應用於現實問題，對某些現象加以解釋，或作出預測，或用於設計，或控制某個過程等等。這些能力不是天生的，也不是單純通過學習數學基礎知識就能獲得的，只能通過有意識的反覆訓練和實踐才能獲得。然而以往的數學教學在這方面是欠缺的，有必要加以改革和完善。

1991年開始，上海市青少年科技教育中心（當時的上海市青少年科技指導站）和上海市工業與應用數學學會決定舉辦上海市中學生數學知識應用系列活動作為對高中數學教學的改革和補充的一種探索，並從那一年開始，每年舉行一次中學生數學知識應用競賽。這項活動每年都有5000多名中學生參加，至今已連續開展了14年。

上海市中學生數學知識應用競賽分初中組和高中組。高中組的主要活動包括初賽（開卷）、決賽（閉卷）、夏令營活動和小論文競賽等。通過競賽和撰寫應用數學小論文使學生親身經歷瞭解決實際問題的全過程，在問題的發現、數據的採集、數學模型的建立、數學問題的求解、結論的驗證、論文的寫作、論文的答辯等過程中各種能力得到了全面的提高。學生們的參賽論文中洋溢着創新精神，其創造性思維令人鼓舞。從中選拔出來的優秀論文多次在國內外獲獎。作為競賽活動的一個組成部分，從1997年起組委會先後組織輔導了二十多支中學生隊參加了美國大學生數學建模競賽，並取得了優異成績。

上海市中學生數學知識應用競賽系列活動在國內外產生了很大的影響，有的學校已把開展應用數學活動、培養學生的綜合素質作為一項課題進行研究，更多的學校已把應用數學或數學建模作為研究型選修課程，甚至成立應用數學特色學校。

·第1名

紐約大學 - New York University

·第2名

麻省理工學院 - Massachusetts Institute of Technology

·第3名

加州大學，洛杉機分校 - University of California,Los Angeles

·第3名

加州理工學院 - California Institute of Technology

·第5名

明尼蘇達大學，雙城校區 - University of Minnesota,Twin Cities

·第6名

布朗大學 - Brown University

·第7名

加州大學，伯克利分校 - University of California,Berkeley

·第7名

普林斯頓大學 - Princeton University

·第9名

德克薩斯大學，奧斯汀分校 - The University of Texas at Austin

·第9名

斯坦福大學 - Stanford University

·第11名

密西根大學，安娜堡分校 - University of Michigan,Ann Arbor

·第12名

馬里蘭大學，帕克分校 - University of Maryland,College Park

·第12名

卡內基美隆大學 - Carnegie Mellon University

·第14名

佐治亞理工學院 - Georgia Institute of Technology

·第15名

康乃爾大學 - Cornell University

·第16名

華盛頓大學 - University of Washington

·第17名

芝加哥大學 - University of Chicago

·第18名

萊斯大學 - Rice University

·第19名

普渡大學，西拉法葉校區 - Purdue University

·第19名

亞利桑那大學 - University of Arizona

·第21名

威斯康星大學，麥迪遜分校 - University of Wisconsin,Madison