擬共形映射

擬共形映射又稱擬保角映射，原本是複分析中的一套技術手段，現已發展為一套獨立學科。其定義如下：

固定實數 K > 0。設 D,D' 為平面上的開子集，連續可微函數

保持定向。若在每一點上其導數

將圓映至離心率小於等於 K 之橢圓，則稱

為 K-擬共形映射，由此可見共形映射是 1-擬共形映射。

若存在 K 使

為擬共形映射，則稱

為擬共形映射。

擬共形映射的定義也可以延伸至較高維度或非連續可微的情形

在定義區域內把每一微小圓映成微小橢圓的映射，是共形映射的推廣。如果所映成的橢圓的長軸與短軸之比在定義區域內恆不大於K，則此映射為K-擬共形映射。在可微點處，

與

滿足不等式

。這種映射較共形映射的條件弱，但保留着共形映射多種性質，靈活而便於應用。

最早提出這類新映射的是H.格勒奇(1928)，他為了敍述與證明皮卡定理的一個推廣而引進這類新映射。他同時給出了伸縮商概念，它可以度量這類新映射與熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫連季耶夫(1935)，L.V.阿爾福斯(1936)又分別從偏微分方程與函數論的角度研究了這類新映射。這樣，擬共形映射這個術語開始出現 ^[1]  。

擬共形映射的概念不能僅限於可微的情形，因為可微的擬共形映射類缺乏緊性。在這個概念的演變過程中，形成為分析的與幾何的兩種定義形式；這二者最終又統一了起來(1957)。

分析定義：對於平面上的復值可測函數μ(z),μ(z)是本性有界的，

以M(z)為係數的貝爾特拉米方程

在

中的弱正則同胚解ƒ,稱為K- 擬共形映射，其中

。對於上述的μ(z)，方程(1)必存在一個同胚解。如果還有另外一個解g，則F=g☉ƒ必是解析的，此時g=F☉ƒ。因此，如要求(1)的全平面的同胚解且保持0、1、∞為不動點，則這樣的解是唯一的，稱為方程(1)的基本同胚。存在定理的證明有一個長的歷程，並有許多證法。最簡單的證法是藉助於考爾德倫－贊格蒙理論而獲得的(1957)。最早的證明應該屬於C.B.莫利(1938)，只是因為術語與重點的不同才掩蓋了他的工作與這一理論的聯繫，而這種聯繫是L.伯斯在1957年發現的。

幾何定義用了極值長度概念。設Г 是平面上一族局部可求長弧，ρ是平面上的正值可測函數，並且

設ƒ是域內一個正向同胚映射，如果λ（f☉Γ）

K λ （Γ）對該域內任一族曲線Г 成立，則ƒ 是一個 K- 擬共形映射。這是K-擬共形映射的幾何定義。因為極值長度是不受維數限制的，所以幾何定義可以進行形式推廣而形成高維擬共形映射。這方面的工作只初具規模。

當K=1即k=0時，貝爾特拉米方程退化為柯西－黎曼方程；而式(2)則意味着極值長度乃是共形映射下的不變量。1-擬共形映射恰好是共形映射。

設ƒ(z)是把|z|<1映成|w|<1(ƒ(0)=0)的K-擬共形映射，則ƒ(z)可擴張為|z|≤1到|w|≤1的同胚映射,而且有偏離估計

這是用參數表示法獲得的一個精細估值。這種映射還滿足赫爾德條件：這個條件説明，這個映射族有緊性。設ƒ(t)把實軸映成實軸，存在一個把Imz≥0映成 Imw≥0，且以ƒ(t)為邊界值的K- 擬共形映射的充要條件為，

對一切實數x與t成立，式中ρ是一個僅與K有關的實數 ^[2]  。

如果

則以μ(z)為係數的貝爾特拉米方程的基本同胚ƒ(z)，在略去關於ε 的高階項以後，可以表示為

這個近似表示是變分公式的精緻化，在研究極值問題時有許多應用。極值問題一開始就支配着擬共形映射理論。對於通常由幾何和拓撲條件規定的映射族，要求在族中求得一個映射ƒ，它的最大伸縮商取得最小值。由於緊性，極值映射必存在，但解不一定是唯一的，即使是唯一的，也還有一個如何描述和分析這個解的問題。擬共形性是一種局部性質,所以可在黎曼曲面上推廣,而上述極值問題仍然有意義。在緊黎曼曲面情形下，泰希米勒斷言，在一個指定的映射的同倫類中，極值映射是存在的，而且是唯一的。極值映射如不是共形的，則除有限個點外，在每一點附近都是一個共形映射、一個仿射變換與另一個共形映射的複合。這些，就是對極值問題的基本結果、泰希米勒定理的直觀描述。

擬共形映射理論，在橢圓型偏微分方程中佔有重要地位。這個理論，在黎曼曲面的研究中，特別富有成果。如黎曼曲面的模問題、單值化問題等都由於這一理論的影響而獲巨大的進展 ^[3]  。近些年來，人們發現這一理論在研究泰希米勒空間、克萊因羣、有理函數的迭代、調和分析和彈性等方面已經成為一個有價值的工具。