無窮小算子

無窮小算子亦稱無窮小生成元，隨機過程理論的重要概念。它可對任意巴拿赫空間上的任一算子半羣來定義。此處是對馬爾可夫半羣而言，如果下面二式右端極限按範數意義存在，則記

定義算子A：

記

為

的定義域，則有

。算子A稱為馬氏過程

的(強)無窮小算子。若(1)，(2)的極限是弱收斂極限(即若

有界，且對每一

，則稱

弱收斂於

，記為

)，並稱相應的算子

為弱無窮小算子。無窮小算子A是線性的，但未必有界 ^[1]  。

設

為某可測空間，

為作用於

中的壓縮算子半羣。由公式

決定的算子

稱為半羣

的無窮小算子(infinitesimal operator)，若

的定義域為

{

，且對

一致存在

} ^[2]  。

無窮小算子性質：

(1) 集

依範數收斂(稱強收斂)意義下的閉包與集

{

且

}重合；此處

。

(2) 如

，則

且

；

(3) 如

，則

對

強可微，且

；這裏強可微是指強收斂意義下可微。

(4) 算子A封閉 ^[2]  。