閉線性算子

定義1（閉線性算子）設X，Y均為Banach空間，T是

的線性算子。對於任意的

，若由

可得

，且

，則稱T為閉線性算子，簡稱閉算子。

注：每個連續線性算子T都可以將定義域

延拓到

的閉包上，因此每個連續線性算子T都可以看成是有閉定義域的，於是每個連續線性算子必是閉算子；但一般的閉線性算子不一定是連續算子（下面的例1證實了這一説法）。 ^[1] 

例1 ^{[1]  [2]}  考察微分算子

，它是定義在

上，取值於

的線性算子。取函數

，則

因此T是無界算子，從而不是連續算子。下證T是閉算子。設

則對

另一方面，

所以，

故

定義2（線性算子的圖像）令T是定義在

上到Y的線性算子，稱

為T的圖像。 ^[1] 

注：

是

的線性子空間。

上面定義的閉線性算子有一個重要性質，即T的圖象

為乘積空間

的一個閉線性子空間。定理描述為：

定理1 T是閉算子的充分必要條件是

為閉集。 ^[1] 

證明：（1）必要性 設

，

. 因為T是閉算子，則

，

，於是

，故

是閉集。

（2）充分性 設

是閉的，若

，那麼

這表明

定理2（閉圖像定理）設X，Y均為Banach空間，T是

的線性算子。

是X中的閉集。若

是

中閉集，則T是連續的。

證：該定理的證明參見參考文獻[1] 的291-292頁。

由定理1可知，定理2還可敍述成：在定理2的條件下，若T是閉算子，則T是連續的。因此定義域是閉子空間的閉算子是連續算子。 ^[1] 

閉線性算子原是泛函分析中的概念，後被引入魯棒控制中討論系統的不穩定攝動問題。經研究發現，控制系統中一個對象的傳遞函數P(s)(n×m階實有理矩陣)，若僅在有限功率譜輸入與輸出情況下考慮，實際上等於引入了一個從輸入空間H^m₂到輸出空間Hⁿ₂的閉線性算子，這一結論為在魯棒控制中引入隔撲(Gap)概念討論系統的不穩定攝動打下了基礎。