延拓

設f，g分別是定義在D(f)、D(g)

E上的線性泛函，稱f是g的一個線性延拓，如果

1）

2）

定理1 設E為實線性空間，若在E的子空間E₀上定義了一個線性泛函f₀，滿足

這裏p(x)為E上一個次可加正齊性泛函，那麼必存在一個定義在整個E上的線性泛函f，滿足

1）

2）

定理2 設p(x)是複線性空間E上的對稱非負值次可加泛函，泛函f₀是定義在E的線性子空間E₀上的線性泛函，滿足

那麼，必存在一個定義在整個E上的線性泛函f，滿足

1）

2）

定理3（Hahn-Banach）設E是賦範線性空間，f₀是定義在E的子空間E₀上的有界線性泛函，那麼，必存在E上的有界線性泛函f，滿足

1）

2）

系1 設E是賦範線性空間，x₀∈E，x≠0，則必存在E上的連續線性泛函f，使

系2 設E是賦範線性空間，x₀∈E，如果對任何f∈E*都有

則x₀=0.

系3 設E₀是賦範線性空間E的子空間，y₀∈E，若

那麼必有

滿足

1）

2）

3）

由比卡定理得到的初值問題

解的存在區間一般較短，不能滿足實際需要。下面我們反覆使用解的存在唯一性定理，把存在區間加長。如果對於區域D⊂R²上的每一點，都有以它為中心且完全屬於D的矩形區域R存在，使得f(x，y)在R上關於y滿足李普希茲條件，則稱f(x，y)在D上關於y滿足局部李普希茲條件。設f(x，y)在區域D⊂R²上連續，且關於y滿足局部李普希茲條件，由比卡定理，存在h>0，初值問題方程①在[x₀-h，x₀+h]上存在解y=y(x)。若(x₀+h，y(x₀+h)) ∈D，則又存在h₁>0，使得方程①在[x₀+h-h₁，x₀+h+h₁]上存在解y=y₁(x)。由解的唯一性，在[x₀，x₀+h]∩[x₀+h-h₁，x₀+h+h₁]上 y(x)≡y₁(x)，於是在較長的區間上得到方程①的解。重複上述過程，就可以將解的存在區間不斷向右加長。向左也是如此。這個過程叫做解的延拓。 ^[2] 

不能繼續延拓的解稱為飽和解，飽和解的存在區間稱為解的最大存在區間。如果最大存在區間包含端點，那麼解仍可以按上述方法再延拓，因而最大存在區間一定是開區間，解的延拓定理給出了上述延拓的最終結果。設f(x，y)在區域D⊂R²上連續，且關於y滿足局部李普希茲條件，則對於任意的(x₀，y₀)∈D，初值問題方程①的解y=y(x)的最大存在區間可能是[x₀，+∞)或[x₀，b)，式中b是有限數，且當x→b-0時，y=y(x)無界或 (x，y(x)) 趨於D的邊界。向x₀的左方延拓是完全類似的。 ^[2] 

例如，設f(x，y)及

在xoy平面上連續，對於任意的x₀∈ (-∞，+∞)，y₀∈(-a，a)，求方程dy /dx=(y²-a²)f(x，y)滿足初值條件y(x₀)=y₀解的最大存在區間。顯然y=±a是方程定義在 (-∞，+∞) 上的解。由解的存在唯一性，該問題的解y=y(x)不能穿過直線y=±a，只能位於帶域|y|<a中，向左右兩側無限延伸，從而解的最大存在區間是(-∞，+∞)。 ^[2]