馬爾可夫半羣

馬爾可夫半羣亦稱馬爾可夫轉移半羣。是一種算子。指由齊次馬爾可夫過程的轉移函數定義的半羣算子。設(E，E)為可測空間，B(E)為E上所有E可測有界實值函數的空間。在B(E)中引入範數‖f‖=sup|f(x)|，則B(E)就成為巴拿赫空間。令{X(t)，t∈R₊}是以(E，E)為相空間的齊次馬氏過程，它的轉移函數為P(t，x，B).在B(E)上定義算子T_t：

則T_tB(E)⊂B(E)，T_tT_s=T_t+s，且T_t為有界線性算子。因此，算子族{T_t}_t∈R+構成算子半羣，這就是馬爾可夫(轉移)半羣。由於這個半羣總可完全惟一地決定過程的轉移函數，考慮馬爾可夫過程相應的算子半羣是很有好處的。由此而發展了一整套馬爾可夫半羣理論。

人們還可以考慮另一個半羣：設M(E)表示(E，E)上有限符號測度的巴拿赫空間，其上的範數定義為全變差，即

，其中

為E關於μ的任一分解，對每一t∈R₊，令

則：{T_t}_t∈R+構成M(E)上的有界線性算子半羣。

算子T_t與T*_t有着共軛的關係。但這種關係不是完全的，因為B(E)與M(E)中一般沒有一個是另一個的整個共軛空間。雖然如此，人們還是隻需研究兩個半羣中的一個就可以了。一般地，研究{T_t}較為方便些。

對於非齊次情形，也相應有類似的帶有兩個參數的半羣算子族{T_s，t}與{T*_s，t}。 ^[2] 

半羣是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半羣。半羣(S，·)簡記為S。

半羣是羣的推廣。羣自然是半羣；反之顯然未必。半羣也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半羣，稱為環的乘半羣；但任何一個帶零半羣卻未必是某個環的乘半羣。半羣代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半羣的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半羣理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於羣論和環論之外.在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半羣》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半羣代數理論》，這對半羣代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半羣論壇》更是有關半羣理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數學家在世界各地開展半羣理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後).半羣代數理論是半羣理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分。此外，尚有半羣的分析、拓撲和序理論。

算子半羣是依賴於參數且對乘法運算封閉的算子族。設X是線性空間，T_t(t≥0(或t>0))是X上的線性算子。如果對任何t₁，t₂≥0(或>0)，有T_t1T_t2=T_t1+t₂，則稱{T_t|t≥0(或t>0)}為單參數算子半羣，或簡稱算子半羣。顯然，算子半羣即把參數t的加法半羣(因限制t≥0或t>0故僅是加法半羣)變成算子(按算子乘法)的半羣。對於半羣{T_t|t≥0}，通常總加上假設T₀=I。在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間(重要的是局部凸拓撲線性空間)，並且把{T_t|t≥0(或t>0)}視定義在[0，+∞)(或(0，+∞))上算子值函數時，還要假設有某種連續性，具體可見C₀類算子半羣，C₀類等度連續算子半羣，解析算子半羣等。上面談的是線性算子半羣，此外還有非線性算子半羣。

算子半羣理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的算子半羣和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、概率論(馬氏過程)、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。 ^[3] 

馬爾可夫過程簡稱馬氏過程。一類重要的隨機過程。設{X(t)，t∈R₊}為定義在概率空間(Ω，F，P)上取值於可測空間(E，E)的隨機過程，{F_t}_t∈R為(Ω，F)的上升σ域族，F_t=σ(X(s)，s∈[t，+∞))。如果下面的性質1成立：

則稱過程{X(t)}為馬爾可夫過程，可測空間(E，E)稱為馬爾可夫過程{X(t)}的狀態空間。一般情形下，因為要考慮形如{X(t)=x}集合的概率，人們還要求E包含所有單點集{x}。性質1與下列性質之一等價：

2.ᗄt∈R₊， B∈F_t： P(B|F_t)=P(B|X(t)).

3.ᗄt∈R₊， A∈F_t： P(A|F_t)=P(A|X(t)).

注意，若性質1，2，3成立，則把其中的{F_t}換成{X(t)}的自然σ域族{F_t}後相應的性質仍成立。而且這時性質2有如下的直觀意義：當已知系統在時刻t以前(含t)的歷史時，系統在t以後的發展只依賴於系統在時刻t的狀態而與它在t以前的情況無關。此即所謂馬爾可夫性，這正是馬爾可夫過程的本質所在。

應當指出，儘管一些著作中也把馬爾可夫性稱為無後效性，但它和多數著作(包括本書)中提到的無後效性是不一樣的。後者是指過程的獨立增量性質。相對於此，馬爾可夫性只是一種條件無後效性。

完備的賦範線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。

20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裏斯在1904—1918年間所引入的函數空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裏，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性算子等基本概念已經得到初步研究。

1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦範線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函數空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出

鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦範空間上泛函延拓定理，引入了賦範線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性算子理論》。至此，完備賦範線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面應用的理論。 ^[4]