隨機過程

一族無窮多個、相互有關的隨機變量，就是隨機過程。 ^[12]  在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內在規律並以概率的形式來描述這些規律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。

隨機過程 ^[3]  整個學科的理論基礎是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源於對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統計力學的研究，及後來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創性工作。

研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：

一類是概率方法，其中用到軌道性質、停時和隨機微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測度論、 ^[4]  微分方程、半羣理論、函數堆和希爾伯特空間等。

實際研究中常常兩種方法並用。另外，組合方法和代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也有一定作用。

主要內容有：多指標隨機過程、無窮質點與馬爾可夫過程、概率與位勢及各種特殊過程的專題討論等。

中國學者在 ^[5]  平穩過程、馬爾科夫過程、 ^[6]  鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面做出了較好的工作。

數學上的隨機過程是由實際隨機過程概念引起的一種數學結構。給定概率空間 (Ω, F, P)，隨機變量 X(ω) 是定義在樣本空間 Ω 上，取值於 R 的可測函數，隨機過程 X(t)是以參數 t 為指標的一組隨機變量，可看作二元函數 {X(t, ω),(t, ω) ∈ R × Ω}。如果固定 ω，將得到一個以 t 為自變量的函數，這是隨機過程X(t) 在一次實驗中的“實現”，稱該函數為隨機過程 X(t) 的一條樣本函數或樣本軌道。另一方面，如果固定 t，那麼將得到一個隨機變量，設該隨機變量的分佈為 F_X(t)(x)，稱這個分佈為隨機過程 X(t) 的一維分佈。 ^[12] 

人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數學模型，或者是因為它的內在數學意義以及它在概率論領域之外的應用。

1907年前後，Α.Α.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變量，後人稱之為 ^[7]  馬爾可夫鏈。

1923年N.維納給出了布朗運動的數學定義，這種過程仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始於30年代。

1931年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫發表了《概率論的解析方法》；三年後，Α.Я.辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定了理論基礎。稍後，P.萊維出版了關於布朗運動與可加過程的兩本書，其中藴含着豐富的概率思想。

1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敍述了隨機過程的基本理論。

1951年伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開闢了新的道路；

60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。

對於隨機過程{X (t); t∈T}，其統計特徵有均值函數、方差函數、協方差函數和相關函數。它們的定義如下： ^[12] 

上述統計特徵之間的關係為：

隨機過程有兩種分類方法，其依據分別為：（1）統計特徵；（2）參數集和狀態空間的特徵。 ^[13] 

以統計特徵進行分類，一般可分類以下一些：

參數集T可分為兩類：（1）T可列；（2）T不可列。

狀態空間S也可分為兩類：（1）連續狀態空間；（2）離散狀態空間。

由此將隨機過程分為以下四類:

對過程的概率結構作各種假設，便得到各類特殊的隨機過程。

除上述正態過程、二階過程外，重要的還有獨立增量過程、 ^[8]  馬爾可夫過程、平穩過程、鞅點過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程， ^[9]  布朗運動和 ^[10]  泊松過程，它們的結構比較簡單，便於研究而應用又很廣泛。從它們出發,可以構造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質不同，前者連續而後者則是上升的 ^[11]  階梯函數。