點過程

20世紀60年代以前，點過程的研究着重於一維情形。即實軸上的點過程，方法是比較初等的，內容多為考慮泊松過程的種種推廣。以後逐漸擴充到多維及更一般的空間，並與迅速發展的隨機測度論及鞅論相結合，無論在內容或方法方面都有了根本性的進展。 ^[1] 

一維點過程在點過程的研究中，一維點過程在理論與應用上都佔有重要的位置，它的統計規律可以通過三種不同的方式來描述：①點數性質：設N[s,t)表示落在區間[s,t)上隨機點的數目，N(A)表示落在集合A上隨機點的數目，令B表示實軸上的波萊爾域（見概率分佈），則(N(A),A∈B)是定義在B上的隨機測度，這時它只取非負整數值，稱為隨機計數測度。若把開始觀測的時刻記為

，則

同分布，則稱

為無窮可分點過程。利用隨機測度理論，無窮可分點過程的表徵問題得到了比較徹底的解決。 ^[2] 

隨機測度的收斂與極限問題相應於測度序列的各種收斂性，可以定義隨機測度（隨機點過程）的弱收斂、強收斂、淡收斂、依分佈收斂等（見概率論中的收斂），並可研究其相互關係，從而進一步研究在一定條件下隨機測度序列收斂到某個特殊隨機測度的問題。這一類問題與無窮可分點過程理論密切相關。一個有趣的結果是：相互獨立的隨機點過程的疊加，若滿足所謂一致稀疏條件，則疊加過程收斂於泊松過程。它與中心極限定理中獨立隨機變量的標準化部分和收斂於正態分佈的結果相似。類似於特徵函數與母函數（見概率分佈）在研究隨機變量的分佈及其極限理論中的作用，對於點過程，也可以定義概率母泛函與拉普拉斯泛函，作為研究其極限問題的重要工具。 ^[3] 

點過程與隨機幾何60年代後，由於自然科學和其他實際問題的需要，產生了大量與點、線、面等幾何元素的隨機分佈有關的概率問題，它們屬於隨機幾何的範疇。例如，研究細胞核中成對染色體的相對位置，需要求出在兩同心圓上均勻分佈的兩隨機點距離的概率分佈，由研究聲波反射而提出的求平均路長問題等。布豐的投針問題(見概率)可能是最早的這類問題之一，它求出了隨機拋一枚針與一組等距離的平行線不相交的概率，從而可以用實驗的方法求得圓周率π的近似值。點過程及其進一步的發展還與隨機幾何相聯繫，產生了線過程、面過程、超平面過程、隨機分叉樹等模型，它們又可以經過一定的變換，變為某一流形上的點過程。例如平面上的一條直線，它以與原點的距離及與座標軸的交角為參數，可以對應柱面上一點，因而平面上的隨機線過程可以表為柱面上的隨機點過程。 ^[3]