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停時

鎖定
停時((stopping time)一類隨機時刻，指具有某種與將來無關性質的隨機時刻。給定概率空間(Ω，F，P)及其濾子Ft，映射τ：Ω→T∪{∞}，如果對任意的t∈I，{ω：ω∈Ω，τ(ω)≤t}∈Ft，則稱映射τ為一個(Ft)停時。 [1] 
中文名
停時
外文名
stoptime
所屬學科
數理科學
性    質
一種特殊的隨機變量
相關概念
隨機變量、概率空間等

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 停時的基本性質
  3. 3 停時的作用

停時基本介紹

停止時間是一種特殊的隨機變量，表示一個隨機的時刻。例如，設
為停時，那麼這意味着兩方面內容，第一，
是隨機的，第二，
的取值範圍是
為已知，當結果出現時，可表示為
也就是説，該隨機變量的結果是一個特定時刻。
現在考慮建立在債券上的美式期權，該期權可以在當前時刻t=0與到期日T之間的任何時刻執行，如果期權執行者認為時機已到，那麼他將執行期權，否則他將選擇等待直到到期。
所以，我們需要研究一個“隨機日期”，它對於期權定價非常重要，實際上，提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。
我們設
為期權的執行日期，很顯然已知信息集
，我們就可以知道該期權是否已經被執行，也就是説，已知
，我們可以知道哪種情況成立：
該式表示期權已經被執行，或者
該式表示期權尚未被提前執行。 [2] 
的這種性質可以用來定義停止時間。
定義1 停止時間是
可測的非負隨機變量，滿足
1)已知
，我們可以判斷是否有
2)我們有
對於一般的衍生證券，期限都是有限的，因此期權要麼在一個有限的時刻被執行，要麼過期失效，這意味着第二個等式，即
以1概率有限，將恆成立。 [2] 

停時停時的基本性質

下面列出停時的基本性質。
定理 設
均為
停時，則有
(1)
是停時；
(2)
是停時；
(3)如果
，則
；
(4)
是
可測的。
首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上，設E是一個度量空間，X是關於濾子
適應的、E為狀態空間的隨機過程，對於
，定義
則
就是一個停時。 [1] 

停時停時的作用

在實際操作中，我們應該如何利用停時
呢?
最明顯的一個用途是用
來代表期權的執行時間，對歐式期權而言，執行時間不含隨機因素，期權只能在到期日被執行，因而我們有
而對於美式期權，
一般是隨機的。
考慮一份美式看漲期權
，標的資產為
，
滿足以下SDE：
其中漂移項和擴散項係數滿足一般的規範性條件。
和過去一樣，衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示，但此時多了一個複雜之處，證券持有者不一定要等到T時刻才執行期權，他可以在利潤較高時提前執行。
也就是説，如果持有者必須等到到期日才能執行期權，那麼該期權 t 時刻價值為
而如果他可以提前執行，那麼價值為
其中
是所有可能停止機會的集合，
是
的最優選擇，這裏
代表期權持有者可能執行該看漲期權的日期。
因此在 t 時刻，我們可以計算出一系列
，包含所有停止時間
可能的取值，為了求出正確的價格，我們要求這些
的上確界。 [2] 
參考資料
  • 1.    吳強，黃建華．分數階微積分：清華大學出版社，2016.05
  • 2.    （美）艾利·赫薩，（美）薩利赫 N.內夫特奇著；冉啓康，葛泓杉，李君格譯．金融衍生工具數學導論 原書第3版：機械工業出版社，2016.08