隨機過程

《隨機過程》 ^[1]  共分七章，內容包括：概率統計、泊松過程、更新過程、離散時間馬爾可夫鏈、連續時間馬爾可夫鏈、布朗運動和應用舉例，每小節配有練習題，每章配有總習題，書末附有習題答案或提示，供讀者參考， ^[1]  對實際應用中常見的隨機過程作了較為系統的介紹，有許多新的簡明講法，方便讀者更好地理解隨機過程的概念和主要定理。 ^[1]  敍述嚴謹、舉例豐富，精選的例題反映了應用隨機過程的特點， ^[1]  在介紹隨機過程的同時也介紹了隨機過程參數估計的基本方法，為的是方便實際工作者的應用， ^[1]  在定理的敍述和證明上儘量降低難度和避免複雜的數學推導，同時兼顧理論體系的完整。 ^[1] 

何書元，博士、北京大學數學科學學院教授，從事應用隨機過程、時間序列分析和概率極限定理的教學和科研工作。主講課程有概率論、概率統計、應用隨機過程、應用時間序列分析和極限定理等。兼任教育部數學與統計學教學指導委員會委員、全國統計教材編委會委員。 ^[2] 

第一章 概率統計

§1.1 事件與概率

§1.2 隨機向量及其分佈

§1.3 數學期望及其計算

A.數學期望

B.條件概率和條件數學期望

C.數學期望的計算公式

D.概率不等式

§1.4 總體，樣本與次序統計量

A.總體與樣本

B.次序統計量

§1.5 特徵函數和概率極限定理

A.特徵函數

B.概率極限定理

§1.6 參數估計

A.最大似然估計

B.抽樣分佈的上α分位數

§1.7 置信區間和假設檢驗

§1.8 隨機變量舉例

A.兩點分佈

B.二項分佈

C.幾何分佈

D.泊松分佈

E.指數分佈

F.正態分佈

習題一

第二章 泊松過程

§2.1 計數過程和泊松過程

A.隨機過程和隨機序列

B.計數過程

C.泊松過程

練習2.1

§2.2 泊松呼叫流

A.呼叫流的概率分佈

B.等待間隔Xn的分佈

C.到達時刻的條件分佈

D.簡單呼叫流

練習2.2

§2.3 年齡和剩餘壽命

練習2.3

§2.4 泊松過程的匯合與分流

A.泊松過程的匯合

B.泊松過程的分流

C.複合泊松過程

練習2.4

§2.5 泊松過程的參數估計

A.用N（t）估計λ

B.用Sn估計λ

C.複合泊松過程的參數估計

練習2.5

§2.6 非時齊泊松過程

A.非時齊泊松過程

B.強度函數的估計

習題二

第三章 更新過程

§3.1 更新過程

A.極限定理

B.更新函數

C.更新流

練習3.1 ^[2] 

§3.2 更新定理

A.停時

B.基本更新定理

C.布萊克威爾定理

D.關鍵更新定理

練習3.2

§3.3 更新方程和分支過程

A.卷積及其性質

B.更新方程

C.分支過程

練習3.3

§3.4 開關係統

A.開關係統

B.多個狀態的系統

練習3.4

§3.5 年齡和剩餘壽命

A.年齡A（t）的分佈

B.剩餘壽命R（t）的分佈

C.t時服役部件的壽命分佈

D.SN（t）的分佈函數

練習3.5

§3.6 年齡，剩餘壽命和更新間隔的比較

A.A（t），R（t）和更新間隔的比較

B.XN（t）＋1隨機大於更新間隔

C.EA（t），ER（t）和EXN（t）＋1的極限

練習3.6

§3.7 延遲更新過程

A.平衡更新過程

B.延遲更新過程

C.延遲開關係統

§3.8 有償更新過程

習題三

第四章 離散時間馬爾可夫鏈

§4.1 馬氏鏈及其轉移概率

練習4.1

§4.2 柯爾莫哥洛夫-切普曼方程

A.K.C方程

B.初始分佈和Xn的分佈

練習4.2

§4.3 狀態的命名和週期

A.常返與非常返狀態

B.正常返和零常返狀態

C.週期及其性質

D.遍歷狀態

練習4.3

§4.4 狀態空間分類

A.狀態空間的分解

B.簡單隨機遊動的常返性

C.質點在常返等價類中的轉移

練習4.4

§4.5 不變分佈

練習4.5

§4.6 平穩可逆分佈

A.平穩性

B.平穩可逆性

C.平穩可逆分佈的計算

練習4.6

§4.7 離散時間分支過程

A.滅絕概率

B.參數估計

練習4.7

§4.8 強大數律和中心極限定理

A.強馬氏性

B.強大數律和中心極限定理

練習4.8

§4.9 馬氏鏈的統計推斷

A.一步轉移概率的估計

B.P＝P0的假設檢驗

C.獨立性檢驗

習題四

第五章 連續時間馬爾可夫鏈

§5.1 連續時間馬氏鏈的定義

練習5.1

§5.2 泊松過程是馬氏鏈

練習5.2

§5.3 轉移速率矩陣

練習5.3

§5.4 連續時間馬氏鏈的結構

A.保守馬氏鏈

B.馬氏鏈的結構

練習5.4

§5.5 柯爾莫哥洛夫方程

A.向後和向前方程

B.解柯爾莫哥洛夫方程

練習5.5

§5.6 生滅過程

A.線性生滅過程

B.線性純生過程

C.生滅過程

D.簡單的傳染病模型

練習5.6

§5.7 連續時間分支過程

練習5.7

§5.8 馬氏鏈的極限分佈

A.pij（t）的極限

B.馬氏鏈的h骨架和狀態分類

C.平穩不變分佈

練習5.8

§5.9 時間可逆的馬氏鏈

A.時間可逆的馬氏鏈

B.可逆分佈的計算

習題五

第六章 布朗運動

§6.1 布朗運動

A.布朗運動

B.二維布朗運動

§6.2 布朗運動的簡單性質

§6.3 首中時和ArCsin律

A.首中時和最大值的分佈

B.ArCsin律

§6.4 布朗橋與經驗過程

§6.5 布朗運動的軌跡

A.軌跡的不可微

B.軌跡的無限長

C.重對數律

§6.6 隨機遊動與布朗運動

習題六

第七章 應用舉例

§7.1 互聯網的PageRank問題

A.半馬氏過程

B.用轉移速率矩陣作PageRank

§7.2 簡單排隊問題

A.M/G/1忙期

B.M/M/m排隊

§7.3 系統維修問題

部分習題參考答案和提示

附錄A 部分定理的證明

附錄B 常見分佈的期望、方差、母函數和特徵函數

附錄C1 標準正態分佈表

附錄C2 標準正態分佈的上Q分位數

附錄C3 X2（n）分佈的上a分位數

符號説明

參考書目

名詞索引 ^[2]