更新過程

在數學上更新過程可簡單地定義為相鄰兩個點事件(即更新)的間距是相互獨立同分布(但從原點到第一次更新的間距T₁可以有不同分佈)的計數過程，根據T₁的分佈情形更新過程又分為普通更新過程，延遲更新過程和平衡更新過程三類，更新過程也可用過程的事件間距序列{T_n,n≥1}給定，這時N(t)和T_n有如下關係∶N(t)=sup{n:S_n≤t}和S_n=inf{t:N(t)=n}，其中

是第n次更新時間(n≥1,再定義S₀=0).對於普通更新過程,S_n是n個相互獨立同分布的非負隨機變量之和,因此在數學上更新過程也可以看做是一類特殊的獨立隨機變量和. ^[1] 

更新過程是Poisson過程的一種推廣，其中事件發生的時間間隔是獨立同分布的隨機變量，分佈函數為F ^[2]  ．

在故障報修方面的定義：

如果假設故障間隔時問Xi=

一

(

=0)為來自某一分佈的獨立同分布樣本，則隨機過程X_i，i=1，2，…即為更新過程。其中，當故障間隔時間服從指數分佈時，這一更新過程即為指數更新過程；當故障間隔時間服從Gamma分佈時，這一更新過程即為Gamma更新過程。更新過程具有無記憶性，也就是説，對於一個更新過程，不管系統是全新的還是被修復了100次，下一次故障的實際都具有相同的分佈，即更新過程描述了“修舊如新”維修效果。然而，需要注意的是，更新過程模型無法模擬通常在可修復系統中觀測到的可靠性增長或可靠性衰減。對於更新過程模型，一個有用的指標是平均故障間隔時間(MTBF)，即故障間隔時間分佈的均值．記為E(X) ^[3]  。

為了用一個簡單的比喻來討論更新過程，考慮有一個非常勤快的門衞管理電燈，當燈泡燒壞時，就立即更換．令ti表示第i個燈泡的壽命，假設燈泡都是從同一廠家購買的，從而我們設 ^[2] 

P(t_i≤t)=F(t)

其中F是分佈函數，F(0)=P(t_i≤0)=0．

如果在時刻0從一個新燈泡(編號為1)開始，一旦燈泡燒壞，就立即更換新的燈泡，那麼T_n=t₁+…+t_n表示第n個燈泡燒壞的時刻，

N(t)=max{n：T_n≤t}

表示到時刻t為止已更換的燈泡數，那麼過程的路徑和Poisson過程的相應結果是類似的，如果更新理論僅僅和更換燈泡有關的話，那它就不是一個非常有用的研究對象了．我們關注這個系統的原因是它抓住了很多不同情形的本質．我們已經看到過的例子如下． ^[2] 

1.Markov鏈 令X_n表示一個Markov鏈，設X_n=x，T_n表示過程第n次返回到x的時刻．根據強Markov性可知t_n=T_n一

是相互獨立的，因此T_n是一個更新過程。

2.維修機器 考慮一台機器而不是一個燈泡，機器發生故障前正常工作的時間為s_i，發生故障後需要花費u_i時間才能修理好機器．令t_i=s_i+u_i，表示機器發生故障並維修好的第i個循環的時問長度，如果我們假定維修機器可使得它處於“宛如新機器”的狀態，那麼t_i是獨立同分布的，因此可以得到一個更新過程。

3.計數過程 在諸如醫學成像的應用中會出現下面的情形：粒子按照速率為λ的Poisson過程到達計數器，當一個粒子到達計數器時，如果計數器是空閒的，則進行計數，並鎖定計數器τ時長，當粒子在計數器處於鎖定期間到達時不產生任何效果，如果假定計數器從未鎖定的狀態開始，則計數器第n次變為未鎖定狀態的時刻Tn可形成一個更新過程，這是前面例子的一個特殊情形：u_i=τ，s_i=速率為λ的指數隨機變量，此外，更新過程在排隊論中有很多應用。 ^[2] 

更新過程的第一個重要結論是如下的大數定律。 ^[2] 

定理1 令μ=E

表示平均間隔時間，如果P(

>0)>0，那麼以概率1有 ^[2] 

當t→∞時，N(t)/t→1/μ

用文字敍述，是説如果燈泡平均使用了μ年時間，那麼在t年中我們將用壞大約t/μ個燈泡，因為在Poisson過程中時間間隔服從均值為1/λ的指數分佈，根據定理1可知，如果N(t)表示Poisson過程中在時刻t之前的總到達數，那麼

當t→∞時，N(t)/t→λ

定理1的證明 我們利用下面的強大數定律．

定理2(強大數定律) 令x₁，x₂，x₃，…獨立同分布，Ex_i=μ，S_n=x₁+…+x_n,則以概率1有 ^[2] 

當n→∞時，Sn/n→μ

取x_i=t_i，則有S_n=T_n因此定理2意味着當n→∞時，Tn/n以概率1收斂於μ。

根據定義，

除以N(t)，有

根據強大數定律，左邊和有邊都收斂於μ．據此即可得t/N(t)→μ，從而N(t)/t→1/μ。