隨機過程

《隨機過程》一共七章：第一章涵蓋概率論的基礎知識，第二章以闡述的方式特別介紹了條件期望以及隨機過程的一般概念。從第三章開始討論常用的隨機過程模型，包括馬氏鏈、Poisson過程、更新過程、鞅和Brown運動，其中馬氏鏈這一章出於強調直觀背景的目的，僅介紹離散時間馬氏鏈，包括非常返、零常返、正常返、平穩分佈等概念，最後討論了分支過程。第五章主要講解更新過程的基本思想，討論了一些簡單的排隊論問題，第六章是離散鞅論，在條件期望的現代定義的基礎上，對鞅的一些思想和性質做了初步介紹，並通過二叉樹模型和期權定價問題給出了鞅基本理論的簡單應用。第七章介紹了Brown運動的概念和部分基礎性質，它是重要的隨機模型，與其他數學分支及物理學、生物學、金融學都有着深刻的聯繫，以它作為該書的結束，希望讀者對於隨機過程的理論和應用價值有一個更深刻的認識。 ^[1] 

章 概率論述要……………… １

§１．１ 隨機變量 ……………… １

§１．１．１ 概率空間……………… １

§１．１．２ 分佈………………… ４

§１．１．３ 期望與方差………………… ４

§１．１．４ 例……………… ５

§１．２ 隨機向量……………… １６

§１．２．１ 聯合分佈 ………………… １６

§１．２．２ 協方差與協方差矩陣 ……………………… １７

§１．２．３ 例 ………………… １７

§１．３ 極限定理……………… ２６

§１．３．１ 可積性與不等式 ……………………… ２７

§１．３．２ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ不等式 ………………………… ２７

§１．３．３ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ大數定律 ………………………… ２８

§１．３．４ ＢｏｒｅｌＣａｎｔｅｌｌｉ引理 ………………………… ２９

§１．３．５ 例 ………………… ３１

§１．３．６ 極限與期望交換 ……………………… ３５

§１．４ 中心極限定理………………… ３５

§１．５ 特徵函數……………… ３７

§１．６ 矩母函數及母函數……………… ４０

習題 ………………………… ４３

第二章 隨機過程預備知識 ……………… ４６

§２．１ 條件期望……………… ４６

§２．１．１ 事件域與可測性 ……………………… ４６

§２．１．２ 條件概率與條件期望 ……………………… ４８

§２．１．３ 理解條件期望 ……………………… ５５

§２．２ 隨機過程……………… ５９

§２．２．１ 定義 ……………… ５９

§２．２．２ 樣本軌道 ………………… ６０

§２．２．３ 常見的隨機過程 ……………………… ６３

習題 ………………………… ６６

第三章 離散時間馬氏鏈 ……………… ６８

§３．１ 隨機遊動……………… ６８

§３．１．１ 格點軌道與反射原理 ……………………… ６９

§３．１．２ 對稱簡單隨機遊動 ………………………… ７１

§３．２ 馬氏鏈的基本定義……………… ７５

§３．３ ＣｈａｐｍａｎＫｏｌｍｏｇｏｒｏｖ方程與狀態的分類 ……………… ８２

§３．３．１ ＣｈａｐｍａｎＫｏｌｍｏｇｏｒｏｖ方程 ……………… ８２

§３．３．２ 狀態之間的關係 ……………………… ８４

§３．３．３ 狀態的分類 ……………… ８４

§３．４ 犘狀 的極限性質與平穩分佈 ……………………… ９５

§３．４．１ 基本極限定理 ……………………… ９５

§３．４．２ 平穩分佈 ………………… ９７

§３．５ ＧａｌｔｏｎＷａｔｓｏｎ分支過程 ……………………… １０４

習題………………………… １０８

第四章 犘狅犻狊狊狅狀過程 ………………… １１５

§４．１ 預備知識 ……………… １１５

§４．２ Ｐｏｉｓｓｏｎ過程的定義………………… １１７

§４．３ 來到間隔與等待時間的分佈 ………………………… １１９

§４．４ 來到時間的條件分佈 ……………… １２２

§４．５ 非齊次Ｐｏｉｓｓｏｎ過程……………… １２６

§４．６ 複合Ｐｏｉｓｓｏｎ過程 ………………… １３１

習題………………………… １３５

第五章 更新過程……………… １４１

§５．１ 基本定義 ……………… １４１

§５．２ 犖（狋）的分佈與更新函數 ……………………… １４２

§５．２．１ 犖（狋）的分佈 ……………………… １４２

§５．２．２ 更新函數………………… １４３

§５．３ 極限定理與停時 ……………… １４４

§５．３．１ 停時……………… １４５

§５．３．２ 基本更新定理……………………… １４７

§５．４ 關鍵更新定理及其應用 ……………………… １４９

§５．４．１ 更新定理………………… １４９

§５．４．２ 關鍵更新定理的應用……………………… １５０

習題………………………… １５２

第六章 鞅……………… １５５

§６．１ 公平遊戲與鞅 ……………… １５５

§６．２ 鞅基本定理 ………………… １５８

§６．２．１ 停時……………… １６０

§６．２．２ Ｗａｌｄ等式 ……………… １６１

§６．２．３ 首次通過時……………… １６２

§６．３ 在金融中的應用 ……………… １６８

§６．３．１ 模型無關的定價定理……………………… １６８

§６．３．２ 二叉樹模型……………… １７３

§６．３．３ 美式買入期權……………………… １７５

習題………………………… １７６

第七章 犅狉狅狑狀運動……………… １７８

§７．１ Ｂｒｏｗｎ運動的定義 ………………… １８０

§７．２ Ｂｒｏｗｎ運動的性質 ………………… １８０

§７．３ Ｂｒｏｗｎ運動的其他性質 ……………………… １８６

§７．３．１ 首中時與值變量……………………… １８６

§７．３．２ 反正弦律………………… １８８

§７．４ 例 ……………… １８９

§７．５ 粗糙軌道 ……………… １９２

§７．６ Ｂｒｏｗｎ運動與鞅 ……………… １９６

習題………………………… ２００

參考文獻……………………… ２０２ ^[2]