平穩過程

平穩過程：統計特性不隨時間的推移而變化的隨機過程 ^[1]  。

例如，一台穩定工作的紡紗機紡出的紗的直徑大小，受各種隨機因素影響，在某一標準值周圍波動，在任意若干時刻處，直徑之間的統計依賴關係，僅與這些時刻之間的相對位置有關，而與其絕對位置無關，因而直徑的變化過程可以看作一個平穩過程。具有近似於這種性質的隨機過程，在實際中是大量存在的。

在數學中，平穩過程（Stationary process）或者嚴格平穩過程（Strictly-sense stationary,SSS）是在固定時間和位置的概率分佈與所有時間和位置的概率分佈相同的隨機過程 ^[1]  。因此，數學期望和方差這些參數也不隨時間和位置變化。

例如，白噪聲（AWGN）就是平穩過程，鐃鈸的敲擊聲是非平穩的。儘管鐃鈸的敲擊聲基本上是白噪聲，但是這個噪聲隨着時間變化：在敲擊前是安靜的，在敲擊後聲音逐漸減弱。

在時間序列分析中穩態作為一個工具使用，在這裏原始數據經常轉換為平穩態，例如經濟學數據經常隨着季節或者價格水平變化。如果這些過程是平穩過程與一個或者多個呈現一定趨勢的過程的線性組合，那麼這些過程就可以表述為趨勢平穩。將這些數據進行轉換保留平穩數據用於分析的過程稱為解趨勢（de-trending）。

採樣空間也是離散的離散時間平穩過程稱為Bernoulli scheme，離散採樣空間中每個隨機變量可能取得 N'個可能值中的任意一個。當 N = 2 的時候，這個過程叫做伯努利過程。

設{X(t），t∈T}是一隨機過程，如果對於任意的n≧1和任意的t1,t2....,tn∈T以及使t1+τ，t2+τ，...,tn+τ∈T的任意實數τ，n維隨機變量（X(t1），X(t2），...，X(tn））和（X(t1+τ），X(t2+τ），...,X(tn+τ））有相同的聯合分佈函數，即

F(t1,t2,...,tn;x1,x2,...xn)=F(t1+τ，t2+τ，...,tn+τ;x1,x2,...,xn)

ti∈T，τ∈R,i=1,2,...,n

則稱{X(t),t∈T}是嚴平穩過程（強平穩過程或狹義平穩過程），或稱{X(t),t∈T}具有嚴平穩性 ^[2]  。

⑴嚴平穩過程的所有一維分佈函數F(t;x)=F(x）與t無關；二維分佈函數僅是時間間隔的函數，而與兩個時刻本身取值無關，即

F(t1,t2;x1,x2）=F(t1+τ，t2+τ；x1,x2）=F(0,t2-t1;x1,x2）

⑵若{X(t），t∈T}是正態過程，則{X(t），t∈T}是嚴平穩過程的充要條件是{X(t），t∈T}位寬平穩過程。

平穩過程理論在無線電技術和自動控制等領域有着廣泛的應用，並且是諸如時間序列分析、信號分析、濾波、預測理論以及控制理論等應用學科的重要工具。

設X=(X(t),t∈T）是一個取複數值的隨機過程，其中指標集T為整數或實數全體（分別稱為離散指標和連續指標）。如果對任意的自然數n及任意的t1，t2，…tn， 的概率分佈與（X(t1），X(t2），...，X(tn））的概率分佈相同，則稱X為嚴平穩過程 ^[1]  。如果二階絕對矩，而且對任意的t，τ∈T，均值（見數學期望）EX(t），m（常數），協方差（與τ無關），則稱X為寬平穩過程。Г（t）稱為X 的協方差函數。一個嚴平穩過程，如果它的二階矩有窮，則一定也是寬平穩的（見矩）。

給定二階矩過程{X(t),t∈T}，如果對任意的t,t+h∈T,有

（1）E[X(t)]=Cx（常數） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h)

則稱{X(t),t∈T}為寬平穩（隨機）過程或廣義平穩（隨機）過程。

注：

二階矩過程定義：如果隨機過程{X(t),t∈T}對每一個t∈T，二階矩E[X(t)·X(t)]都存在，那麼稱它為二階矩過程。

要證明某個隨機過程是否是寬平穩過程（廣義平穩過程）就必須的滿足以上定義中的三個條件：

（1）E[X(t)]=Cx（常數） ；

（2）E[X(t)X(t+h)]=R(h) ；

（3）E[X²(t)]< +∞ 。

（1）一個寬平穩過程不一定是嚴平穩過程，一個嚴平穩過程也不一定寬平穩過程。

例1、X(n)=sinwn，n=0,1,2，…，其中w服從U（0,2π）,隨機過程{X(n),n=0,1,2，…}是寬平穩過程，但不是嚴平穩過程。

例2、服從柯西分佈的隨機變量序列是嚴平穩隨機過程，但不是寬平穩隨機過程。

（2）寬平穩過程定只涉及與一維、二維分佈有關的數字特徵，所以一個嚴平穩過程只要二階矩存在，則必定是寬平穩過程。但反過來，一般是不成立的。

（3）正態過程是一個重要特例，一個寬平穩的正態過程必定是嚴平穩的。這是因為：正態過程的概率密度是由均值函數和自相關函數完全確定的，因而如果均值函數和自相關函數不隨時間的推移而變化，則概率密度函數也不隨時間的推移發生變化。

這是由Α.Η.柯爾莫哥洛夫和N.維納在1940年左右提出並解決的問題。對於一個均值為0的寬平穩過程X=(X(t），t∈T），隨機變量集{X(s），β∈T，s≤t}表示到時刻t為止所能觀測到的過程的歷史，用Mt(X）表示由這些隨機變量的一切有限線性組合及其均方極限所構成的希爾伯特空間。

設τ>0，所謂"τ步"線性預測，就是要用Mt(X）中的隨機變量來估計還未曾觀測的X(t+τ)(t+τ∈T）；而線性最優預測，就是要在Mt(X）中選擇（t，τ），使預測誤差的方差達到最小。可以證明（t，τ）唯一存在，它就是X(t+τ）在空間上的投影。如果對任意的t，β∈T，都有=Ms(X），則稱過程為決定的或奇異的，這時，即可以無差誤地進行預測；如果所有Mt(X）的公共部分僅包含零，則稱過程為純非決定的或正則的。一般的寬平穩過程 X可以分解成相互正交的兩部分之和：其中Xr是純非決定的寬平穩過程，Xs是決的寬平穩過程。這時，Xr可以按離散指標或連續指標而分別表示為一個正交隨機序列（ξ（t),t∈T）的向後的滑動和或一個正交增量過程 （ξ（t），t∈T) 的向後的滑動積分（對正交增量過程的積分）。寬平穩過程的這一分解稱為沃爾德分解。

此外，寬平穩過程X本身為純非決定的充分必要條件是，它有譜密度ƒ（λ），具有有理譜密度的過程是純非決定過程的重要特例。

設X(t)=(X1(t),X2(t），…，Xk(t））┡是由k個分量組成的，而且均值EX(t）為常值向量，協方差陣E(X(t+τ）-m)(X（τ）-m)*=Г（t）與τ無關，則稱X=(X(t),t∈T）為k維寬平穩過程，其中記號“┡”與“*”分別表示向量或矩陣的轉置與共軛轉置 ^[2]  。這時，Г（t）與X(t）在形式上有和一維情形一樣的譜分解，只是 F（λ）（或ƒ（λ））變為k×k的函數矩陣，它的對角線元就是各分量本身的譜分佈（或密度）函數，而它的非對角線元稱為相應分量的互譜分佈（或密度）函數，而且ƒ（λ）=ƒ*（λ）是非負定矩陣。關於多維寬平穩過程的線性預測問題，也有類似於一維的結果。

如果隨機過程X=(X(t），t∈T）的指標集T是k維整值向量或實值向量的全體，且其均值與協方差函數滿足與寬平穩過程的定義相同的條件，則稱X為齊次隨機場或k指標平穩過程。這時X(t）與Г（t）也有相應的譜分解。如果進一步，Г（t）只與指標向量t的長度（tj為t的分量）有關，則稱X為迷向場。齊次場在力學的湍流理論中很有用。齊次場的線性預測問題比寬平穩過程的情形要複雜得多，中國學者江澤培開始了這方面的工作。

嚴平穩過程的遍歷定理

遍歷定理 　關於嚴平穩過程，最重要的性質是以概率1成立的遍歷定理，或稱為各態歷經定理 ^[3]  。這一名詞來自物理學。任何嚴平穩過程X=(X(t），t∈T）都可看作是由某個概率空間 (,F,P）上的保測變換羣{St，t∈T}作用於隨機變量X(0）而產生的，其中對任意的，實數x及隨機變量ξ，滿足條件，而X(t)=StX(0）。用表示使StA=A對任何t∈T成立的事件A的全體，則是F的子σ域。如果均值EX(0）存在，則以概率1收斂於條件期望E{X(0)|}。如果中只含概率為1或為0的事件，則稱過程X為遍歷的，這時以概率1收斂於EX(0)=EX(t）。後一結果也稱為嚴平穩過程的強大數律，它表明，過程幾乎所有的樣本對時間的平均都趨近於每一時刻的過程值對概率分佈的平均。