平穩隨機過程

隨機過程的平穩性分為嚴格平穩和廣義平穩。

嚴格平穩 ^[1]  ：所謂隨機過程嚴格平穩，是指它的任何n維分佈函數或概率密度函數與時間起點無關。

廣義平穩：若一個隨機過程的數學期望及方差與時間無關，相關函數僅與時間間隔有關，則稱這個隨機過程為廣義平穩隨機過程 ^[1]  。

用符號化語言表示出來，即：

如果對於任意的n（n=1,2,···），t₁,t₂,···,t_n∈T和任意實數h，

當t₁+h,t₂+h,···,t_n+h∈T時，n維隨機變量（X(t₁),X(t₂),···,X(t_n)）和（X(t₁+h),X(t₂+h),···,X(t_n+h)）具有相同的分佈函數，則稱隨機過程{X(t),t∈T}具有平穩性，稱此過程為嚴平穩隨機過程，簡稱隨機過程 ^[2]  。

若隨機過程嚴格平穩，則可以得出以下結論：

其數學期望、方差與時間無關，自相關函數僅與時間間隔有關。

給定二階矩過程{X(t),t∈T}，如果對任意的t,t+h∈T,有

（1）E[X(t)]=Cx（常數） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h)

則稱{X(t),t∈T}為寬平穩（隨機）過程或廣義平穩（隨機）過程 ^[3]  。

注：二階矩過程定義：如果隨機過程{X(t),t∈T}對每一個t∈T，二階矩E[X(t)·X(t)]都存在，那麼稱它為二階矩過程。

要證明某個隨機過程是否是寬平穩過程（廣義平穩過程）就必須的滿足以上定義中的三個條件：

（1）E[X(t)]=Cx（常數）

（2）E[X(t)X(t+h)]=R(h)

（3）

< +∞

嚴平穩隨機過程與寬平穩隨機過程區別聯繫

（1）一個寬平穩過程不一定是嚴平穩過程，一個嚴平穩過程也不一定寬平穩過程 ^[3]  。

例1：X(n)=sinw_n，n=0,1,2，…，其中w服從U（0,2π），隨機過程{X(n),n=0,1,2，…}是寬平穩過程，但不是嚴平穩過程。

例2：服從柯西分佈的隨機變量序列是嚴平穩隨機過程，但不是寬平穩隨機過程。

（2）寬平穩過程定只涉及與一維、二維分佈有關的數字特徵，所以一個嚴平穩過程只要二階矩存在，則必定是寬平穩過程。但反過來，一般是不成立的。

（3）正態過程是一個重要特例，一個寬平穩的正態過程必定是嚴平穩的。

這是因為：正態過程的概率密度是由均值函數和自相關函數完全確定的，因而如果均值函數和自相關函數不隨時間的推移而變化，則概率密度函數也不隨時間的推移發生變化。

事實證明：如果一個平穩隨機過程，只要滿足一些較寬的條件，則一個樣本函數在整個時間軸上的平均值可以用來代替其集平均（統計平均值和自相關函數等），這就是各態歷經性。

一般來説，在一個隨機過程中，不同樣本函數的時間平均值是不一定相同的，而集平均則是一定的。因此，一般的隨機過程的時間平均≠集平均，只有平穩隨機過程才有可能是具有各態歷經性的。即各態歷經的隨機過程一定是平穩的，而平穩的隨機過程則需要滿足一定條件才是各態歷經的 ^[1]  。