分佈函數

設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數

稱為X的分佈函數。有時也記為

。

對於任意實數

,

因此，若已知X的分佈函數，就可以知道X落在任一區間上的概率，在這個意義上説，分佈函數完整地描述了隨機變量的統計規律性。

如果將X看成是數軸上的隨機點的座標，那麼，分佈函數F(x)在x處的函數值就表示X落在區間

上的概率。

F(x)為隨機變量X的分佈函數，其充分必要條件為： ^[1] 

(1)F(x)是一個不減函數

對於任意實數

（2）

從幾何上説明，將區間端點x沿數軸無限向左移動（即

），則“隨機點X落在點x左邊”這一事件趨於不可能事件，從而其概率趨於0，即有

;又若將點x無限右移（即

），則“隨機點X落在點x左邊”這一事件趨於必然事件，從而趨於概率1，即有

^[2] 

(3)

;

證明：因為 F（x）是單調有界非減函數，所以其任一點x₀的右極限F（x₀+0）必存在。

為證明右連續，由海涅定理，只要對單調下降的數列

當

時,

證明

成立即可。 因為 ：

所以得，

設離散性隨機變量X的分佈列為

由概率的可列可加性得

，

即

其中和式是對滿足

的一切k求和．離散型隨機變量的分佈函數是分段函數，

的間斷點就是離散型隨機變量的各可能取值點，並且在其間斷點處右連續．離散型隨機變量

的分佈函數

的圖形是階梯形曲線．

在

的一切有(正)概率的點

，皆有一個跳躍，其跳躍度正好為

取值

的概率

，而在分佈函數

的任何一個連續點x上，

取值x的概率皆為零。

離散型隨機變量的分佈律和它的分佈函數是相互唯一決定的。它們皆可以用來描述離散型隨機變量的統計規律性，但分佈律比分佈函數更直觀簡明，處理更方便。因此，一般是用分佈律(概率函數)而不是分佈函數來描述離散型隨機變量。 ^[3] 

設X為連續型隨機變量，其密度函數為

，則有

對上式兩端求關於x的導數得

這正是連續型隨機變量X的分佈函數與密度函數之間的關係。

(1)設

,則隨機變量X的分佈函數為

(2)設

，則隨機變量X的分佈函數為

(3)設

，則隨機變量的分佈函數為

對於

，其分佈函數為

給定一個隨機變量

，稱定義域為整個平面的二元實值函數

為隨機變量(X，y)的分佈函數。或稱為X與y的聯合分佈函數．

按照分佈函數的定義：

，其中，區域

如圖1所示

設

是隨機變量

的分佈函數，

（1）

；

（2）固定一個自變量的值時，作為一元函數關於另一個自變量是單調不減的；

（3）對任意固定一個y，

；對任意同固定一個x，

；

（4）

，

；

（5）固定一個自變量的值時，

作為一元函數關於另一個自變量至少右連續；

（6）對任意的

有：

。