聯合分佈函數

在許多生產實際與理論研究中，一個隨機現象常常需要同時用幾個隨機變量去描述，例如，晶體管放大器中某一時刻的噪聲電流就要用隨機振幅和隨機相位兩個隨機變量來表徵。又如當一個確定的正弦信號，經過隨機起伏信道傳輸後，到達接收點時其振幅、相位和角頻率已不再是確定的了，而變成隨機參數。這時的信號在某一時刻就要用三個隨機變量來描述。如此可以推廣到n個隨機變量的情況。我們稱n個隨機變量X₁，X₂，…，X_n的總體X=(X₁，X₂，…，X_n)為n維隨機變量(或n元隨機變量)，或稱n維隨機矢量。顯然，一維隨機矢量即為隨機變量。

隨機矢量X的性質不僅由單個隨機變量X₁，X₂，…，X_n的性質所決定，而且還應由這些隨機變量的相互關係所決定。

類似於一維的場合，我們引進如下定義。

稱n元函數：

為n維隨機矢量X=((X₁，X₂，…，X_n)的聯合分佈函數。它表示事件X₁<x₁，X₂<x₂。，…，X_n<x_n同時出現的概率。 ^[2] 

以二維情形為例，以二維情形為例，設（X，Y）是二維隨機變量，x，y是任意實數，二元函數：

被稱二維隨機變量(X，Y)的分佈函數，或稱為X和Y的聯合分佈函數。 ^[1] 

將二維隨機變量（X，Y）看成是平面上隨機點的座標，分佈函數F（x，y）在（x，y）處的函數值就是隨機點（X，Y）落在如圖以（x，y）為頂點而位於該點左下方的無窮矩形區域內的概率。

隨機點（X，Y）落在矩形區域

的概率為

相當於一個大的無窮矩形減去兩個小的無窮矩形，但是多減了一個重合的面積，將它加回來。

如右圖所示的X和Y的聯合分佈函數F(x,y)有如下性質：

(1) ，

；

且

，

，

，

；

(2)F(x，y)關於x(或y)是單調非降的，

即對固定的y，當x₁<x₂時_，

，

對於固定的x，當y₁<y_2時，

；

(3)F(x，y)關於x(或y)均為右連續的的，即

(4)對於任意實數x₁，x₂，y₁，y₂，(x₁≤x≤x₂，y₁≤y≤y₂)，下述不等式恆成立 ^[1] 

確定係數A、B、C，使二元函數

為二維分佈函數．

解:由分佈函數的性質，有

由此可得