方差

“方差”（variance）這一詞語率先由羅納德·費雪（Ronald Fisher）在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》 ^[1]  中提出。

方差在統計描述和概率分佈中各有不同的定義，並有不同的公式。

在統計描述中，方差用來計算每一個變量（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變量的變異程度。總體方差計算公式：

為總體方差，

為變量，

為總體均值，

為總體例數。

實際工作中，總體均數難以得到時，應用樣本統計量代替總體參數，經校正後，樣本方差計算公式：

^[2] 

為樣本方差，

為變量，

為樣本均值，

為樣本例數。

在概率分佈中，設

是一個離散型隨機變量，若E((X-E(X))²)存在，則稱E((X-E(X))²)為

的方差，記為

，

或

，其中

是

的期望值，

是變量值 ^[1]  ，公式中的

是期望值expected value的縮寫，意為“隨機變量值與其期望值之差的平方”的期望值。 ^[2]  離散型隨機變量方差計算公式：

當

稱為變量

的方差，而

稱為標準差（或均方差）。它與

有相同的量綱。標準差是用來衡量一組數據的離散程度的統計量 ^[3]  。

對於連續型隨機變量

，若其定義域為

，概率密度函數為

，連續型隨機變量X方差計算公式 ^[2]  ：

方差刻畫了隨機變量的取值對於其數學期望的離散程度。（標準差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差

較小，若X的取值比較分散，則方差

較大。

因此，

是刻畫

取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

1、設

是常數，則

2、設

是隨機變量，

是常數，則有

3、設

與

是兩個隨機變量，則

其中協方差

特別的，當X，Y是兩個不相關的隨機變量則

此性質可以推廣到有限多個兩兩不相關的隨機變量之和的情況。

4、

的充分必要條件是

以概率1取常數

，即

（當且僅當X取常數值

時的概率為1時，

。）

注：不能得出

恆等於常數，當

是連續的時候X可以在任意有限個點取不等於常數

的值。

5、

。

1、

2、

3、

上式右端第三項為。

若X，Y相互獨立，由數學期望的性質知道上式為0。

4、充分性：

，則有

必要性：用反證法 ，概率不會大於1，只需考慮是否等於1或小於1。

假設

，則對於某一個數

。

但是由切比雪夫不等式，當

，滿足

與上式矛盾。

於是

。 ^[4] 

離散型方差的計算式為：

，其中

。

而將上式展開後可得：

連續型方差的計算式為：

，其中

。

將上式展開後可得：

以上兩式是一樣的，只是寫法不同。

證明：由數學期望的性質得

X服從兩點分佈，則

X服從超幾何分佈，即

，則

X服從二項分佈，即

，則

X服從泊松分佈，即

，則

X服從均勻分佈，即

，則

，

X服從指數分佈，即

， 則

X 服從正態分佈，即

， 則

X 服從標準正態分佈，即

， 則

求正態分佈的數學期望&&方差

設

，求

，

.

令

，由於

，所以

，已知

，

，從而

已知某零件的真實長度為a，現用甲、乙兩台儀器各測量10次，將測量結果X用座標上的點表示如圖1：

甲儀器測量結果：

乙儀器測量結果：全是a

兩台儀器的測量結果的均值都是 a 。但是用上述結果評價一下兩台儀器的優劣，很明顯，我們會認為乙儀器的性能更好，因為乙儀器的測量結果集中在均值附近。

由此可見，研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那麼，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量隨機變量與其均值E（X）的偏離程度。但由於上式帶有絕對值，運算不方便，通常用量E[（X-E[X]）²] 這一數字特徵就是方差。

方差是實際值與期望值之差平方的平均值，而標準差是方差算術平方根。 ^[5]  在實際計算中，我們用以下公式計算方差。

方差是各個數據與平均數之差的平方的和的平均數，即

，其中，x表示樣本的平均數，n表示樣本的數量，x_i表示個體，而s²就表示方差。

而當用

作為樣本X的方差的估計時，發現其數學期望並不是X的方差，而是X方差的

倍，

的數學期望才是X的方差，用它作為X的方差的估計具有“無偏性”，所以我們總是用

來估計X的方差，並且把它叫做“樣本方差”。

方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數據的波動大小（即這批數據偏離平均數的大小）並把它叫做這組數據的方差，記作S²。 在樣本容量相同的情況下，方差越大，説明數據的波動越大，越不穩定。

公式可以進一步推導為：

。其中x為這組數據中的數據，n為大於0的整數。

當數據分佈比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分佈比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小。 ^[6] 

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標準差為方差的算術平方根，用S表示。方差相應的計算公式為：

標準差與方差不同的是，標準差和變量的計算單位相同，比方差清楚，因此很多時候我們分析的時候更多的使用的是標準差。

方差不僅僅表達了樣本偏離均值的程度，更是揭示了樣本內部彼此波動的程度，也可以理解為方差代表了樣本彼此波動的期望。當然，這個結論是在二階統計矩下成立。 ^[7]