最優化問題

工程設計中最優化問題（optimization problem）的一般提法是要選擇一組參數（變量），在滿足一系列有關的限制條件（約束）下，使設計指標（目標）達到最優值。因此，最優化問題通常可以表示為以下的數學規劃形式的問題。

對於一組可用列向量

表示的變量，我們的目的是

式中的

是“

”的縮寫，表示“在

約束條件之下”。

和

是指目標函數

取最大值或最小值。

因此，進行工程優化設計時，應將工程設計問題用上述形式表示成數學問題，再用最優化的方法求解。這項工作就是建立優化設計的數學模型。 ^[1] 

式子中的

是

維實數空間（記為

）中的一個向量，它由

個分量

組成。它是在最優化過程中變化而決定設計方案的量，即在最優化中需要進行選擇的一組數值，稱為設計變量向量。從幾何上講，每個變量向量就是以各變量分量為座標軸的變量空間的一個點。當

時，即只有一個變量分量，這個變量沿直線變化；當

時，即只有兩個變量分量時，這個變量向量的所有點組成一平面；而當

時，組成立體空間。有三個以上變量分量時，則構成多維空間。設計空間的每一個設計變量向量對應於一個設計點，即對應於一個設計方案。設計空間包含了該項設計的所有可能方案。

式子中的

稱為目標函數。它是設計變量向量的實值連續函數，通常還假定它有二階連續偏導數。目標函數是比較可供選擇的許多設計方案的依據，最優化的目的就是要使它取極值。在變量空間中，目標函數取某常值的所有點組成的面稱為等值面。即它是使目標函數取同一常數值的點集：

當

，即只有兩個變量分量時為等值線。

等值面具有以下性質：

（1）有不同值的等值面之間不相交。因為目標函數是單值函數。

（2）除了極值點所在的等值面以外，不會在區域的內部中斷。因為目標函數是連續函數。

（3）等值面稠密的地方，目標函數值變化得比較快；稀疏的地方變化得比較慢。

（4）一般地説，在極值點附近等值面近似地呈現為通信橢圓面族。 ^[1]