單葉函數論

黎曼（Riemann.（G.F.）B.）在1851年的學位論文中指出的映射定理，即“邊界點不只一個的單連通區域共形等價於單位圓盤”，成為單葉函數理論的奠基石。

20世紀初，在對單位圓盤內滿足規範條件f(0)=f'(0)-1=0的單葉解析函數類（S類）以及單位圓外以∞為單極點且留數為1的單葉函數類（∑類）的研究中，格朗沃爾面積定理、克貝1/4定理、克貝偏差定理等顯示單葉函數研究的序幕。

1916年，比伯巴赫（Bieberbach,L.）提出一個著名猜測：S類函數的冪級數展開式係數滿足|a_n|≤n,n=2,3,...，且僅對於克貝函數

及其旋轉等號成立，它是那樣簡單而精美，它始終是單葉函數研究的中心課題之一，也是最著名的數學難題之一，在半個多世紀中它吸引着眾多數學家的努力，產生了研究單葉函數的許多方法和相關論題。

例如，1923年，勒夫納（Loewner,C.）引入參數表示法；

1940年前後，席費爾（Schiffer,M.M.）與戈盧津創立的變分法；

1939年，格隆斯基（Grunsky,H.）給出以其名字命名的重要不等式；

1936年，羅伯森（Robertson,M.S.）提出下面的猜測：對於S類中的單葉奇函數，有

由S類函數的平方根變換，羅伯森猜想藴涵比伯巴赫猜想；

1971年，米林猜測：若f∈S且

，則

基於列別傑夫-米林的一個不等式，米林猜想藴涵羅伯森猜想，從而也藴涵比伯巴赫猜想。

1984年，美國數學家布朗基（Branges,L.de）基於勒夫納的參數表示法並利用雅可比多項式的一個結果證明了米林猜想，從而使比伯巴赫猜想得以證實。

單葉函數的種種泛函極值問題也是單葉函數研究的重要內容，並取得了一系列進展。

例如，1974年，伯恩施坦（Bernstein IA.R.）利用他所創立的一種對稱化方法證明了：對於f∈S，0<r<1，0<p<+∞，有

，其中k(z)是克貝函數。

近年來在用極端點和支撐點理論研究單葉函數的線性泛函以及對多連通區域單葉函數的研究方面也已取得顯著的成果。關於單葉函數邊界性質的研究重新引起了一些數學家的重視。

在20世紀初，卡拉西奧多里（Carathodory，C.）曾對單葉函數的邊界對應做過精美的刻畫。最近，馬柯羅夫和波默倫克（Pommerenke,C.M.W.）等人的研究則將單葉函數的邊界性質同像域邊界子集的豪斯多夫測度聯繫起來。 ^[1]