豪斯多夫測度

設在n維歐氏空間

中對子集

定義其直徑為

如果子集族

為可數個直徑不超過

的集構成的覆蓋F的集類，即

且對每一個

都有

，則稱

是F的一個

覆蓋。設F是

中的任一子集，S為一非負數，對任意

，定義

{

為

的

覆蓋} (1)

考察所有直徑不超過

的

的覆蓋，並讓這些直徑的S次冪的和達到最小。當

時，

趨於一極限值，可寫為

稱為

的

維豪斯多夫測度。通常測度只是賦予集以數值“大小”的一種方式，如果集是以合理的方式分解為有限或可數個部分，則整體的數值應該是所有部分數值之和。可以證明，對於空集∅，有

。如果

包含於

內，則

。豪斯多夫測度具有平移不變性與旋轉不變性。長度、面積和體積具有眾所周知的比例性質，即當比例放大λ倍時，曲線的長度放大λ倍，平面區域的面積則放大

倍，而三維物體的體積則放大

倍。由此可預料，S維豪斯多夫測度的放大倍數為

。其數學表達式為：若

，則 ^[1] 

豪斯多夫測度(Hausdorff measure)是幾何測度論中一類有重要意義的測度。在歐氏空間情形，對任意

和給定的

，令

這裏

使得

且每個

的直徑

(ε是任意給定正數)，下確界對所有這樣的

而取。定義

(

是隨ε減小而增大的，故此定義有意義)，則

是度量外測度，稱為豪斯多夫外測度。由這個外測度所確定的(惟一的)測度即為豪斯多夫測度，仍用

表示。豪斯多夫測度是正則波萊爾測度，當

時，

就是直線上的勒貝格測度；

時，

與

上的勒貝格測度等價，但不完全相同。豪斯多夫測度的意義在於，對

的任一子集A，存在數

，使

時

時

，因而

刻畫了

中集合的“維數”(參見“豪斯多夫維數”)。但一般

不是整數，例如對於直線上的康托爾集，

。這個測度由豪斯多夫(F.Hausdorff)於1918年引進，在調和分析、位勢論等學科中有應用。豪斯多夫測度還可在一般的度量空間上和更廣的意義(將上述定義中的(

)換成某個集函數之值)下定義 ^[1]  。