比伯巴赫猜想

1984年，比伯巴赫猜想終於被美國數學家布朗基(Branges , L. de)所證明.他實際上證明了更強的米林猜想，由米林猜想可以推出羅伯森猜想，而羅伯森猜想藴涵比伯巴赫猜想。比伯巴赫猜想曾是複變函數論中單葉函數研究的一箇中心問題 ^[1]  。

大意是：若

是定義在單位圓內的單葉解析函數，那麼

對所有

成立；而且只對克貝函數

有

。這個猜想於1916年由德國數學家比伯巴赫提出。比伯巴赫猜想十分困難和引人入勝，以致被廣泛地列人研究生的課程。許多學者花費了畢生的精力試圖證明它。由此開展的研究形成了幾何函數論這一領域 ^[2]  。

關於這個猜想的證明，是沿着幾條途徑進行的。對於

的單個係數而言，數學家們所做的工作是逐個攻破。比伯巴赫本人證明了對於第2個係數

，猜想為真。

1923年德國數學家勒夫納（Ch.Loewner）創造了參數表示法，證明了

。

1955年，美國數學家加拉貝迪安（P.R.Garabedian）和席費爾（M. M.Schiffer）應用變分法證明對第4個係數猜想也對。

1968年，兩位數學家分別獨立地證明了對第6個係數猜想成立。

1972年，對於第5個係數也被證明。 ^[3] 

對於的全體系數而言，數學家們的工作是逐步接近比伯巴赫的估計。

1925年，英國數學家李特爾伍德證明了

；

1951年，原蘇聯數學家巴濟列維奇得到估計

（c為一常數）；

以後經過多次改進，到1965年，原蘇聯數學家米林證明了

；

1972年，美國加州大學的菲茨傑拉爾德（C.Fitzgerald）證明了

；他的學生又改進了這個結果 ^[4]  。

由比伯巴赫猜想產生了一系列相關的猜想，其中最重要的是米林猜想。可以證明，由米林猜想能推導出比伯巴赫猜想。

1983年，美國數學家德·布朗基(L.deBranges, 1932-）結合前人的方法證明了米林猜想，從而證明了比伯巴赫猜想。1984年春夏之交，德·布朗基在原蘇聯列寧格勒做了一系列講演，報告他的證明，並在6月寫了一篇文章《比伯巴赫猜想》。他的工作得到原蘇聯學者的承認，數學家馬寧寫了文章“比伯巴栩氰想的德·布朗基證明”(1984年6月手稿)。緊接着，美國和德國的著名學者沿用德·布朗基的思想使證明更加簡短 ^[4]  。