一階偏微分方程

函數所包含的偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果函數中 u 的偏導數只是 u 的一階偏導數，則稱該方程為一階偏微分方程。

[partial differential equation]

偏微分方程是包含未知函數及其偏導數的方程。如果

是自變量，以

為未知函數的偏微分方程的一般形式是

這裏 F 是它的變元的函數，

為非負整數，

。

如果 F 中 u 的最高階偏導數是二階，則稱該方程為二階偏微分方程（partial differential equation of higher order）。

如果一個偏微分方程中，未知函數及其所有各階偏導數以線性形式出現，則將這個偏微分方程稱為線性偏微分方程（linear partial differential equation），反之，則稱為非線性偏微分方程（nonlinear partial differential equation）。

若一個非線性偏微分方程中，未知函數的所有最高階偏導數以線性形式出現，而其係數含有該未知函數或其較低階的偏導數，則稱這樣的非線性偏微分方程為擬線性偏微分方程（quasilinear partial differential equation）。

又若一個非線性偏微分方程中，未知函數的所有最高階偏導數以線性形式出現，且最高的階偏導數的係數也不含未知函數與其較低階的偏導數，這樣的非線性偏微分方程稱為半線性偏微分方程（semilinear partial differential equation）。 ^[1] 

一階偏微分方程的幾何理論有悠久的歷史淵源，以後經過É.(-J.)嘉當等人的發展，在幾何學、力學和物理學中都有重大的意義。

偏微分方程研究各類偏微分方程的求解與解的性質。在18世紀初，微積分理論形成後不久，人們就開始結合物理問題研究偏微分方程，並逐漸形成一個獨立的數學分支。最早研究的幾個偏微分方程是弘振動方程、熱傳導方程和調和方程。隨着力學、物理學的發展，連續介質力學、電磁場論、量子力學、引力理論、規範場論等方面的基本規律都被寫成偏微分方程的形式。數學領域中分析學、幾何學中很多基本問題也可歸結為一些偏微分方程的求解。近年來，在各門自然科學、工程技術以致金融、經濟、社會學等學科中又不斷歸結出一些新的偏微分方程，它們的研究對於相應學科的發展是十分重要的。