非線性邊值問題

非線性泛函分析已成為現代數學中的一個重要分支，並且在其他分支中發揮重要作用，非線性泛函分析是處理非線性問題的重要有力工具，尤其是處理應用中出現的大量微分方程中發揮不可替代的作用在非線性泛函分析中，用錐理論半序方法來處理方程是直觀而又實用的方法，並和拓撲方法相結合有力的推動了現代非線性泛函分析的發展在這方面，很多專家都取得了輝煌的成就其中。非線性泛函分析理論能夠成熟的運用於解決非線性微分邊值間題中去，並把解的存在性轉化為某個非線性算子的不動點存在性本文利用錐理論，不動點定理等研究了幾類微分方程奇異邊值間題解的情況，得到了一些新成果。

利用正交射影方法(變分方法)來研究非線性邊值問題

其中L是所謂的場位偏微分運算子。 ^[1] 

假設H是實Hilhert空間，H'為其共扼空間，H上的內積和範數分別表示為

和

，而H'上的範數表示為

，此外，H’和H的共扼對錶示為

，我們要研究的是H上的非線性方程：

其中L是由H到H’裏的非線性運算子，且L(0)=0，而g(u)是定義在H上的泛函數。

定義：

L稱為場位運算子，假如存在一個定義在H上的泛函數F(u)，此泛函可微，即

而且，

若L是一個場位運算子，則稱此方程為場位運算子方程。

令

考慮下面兩個變分形式的問題：

變分問題一：

尋找

，使得泛函

在H上取極小值，其中

注意，在場位運算子的定義裏，泛函F(u)可以相差一個常數項，因此通過常數項的適當選擇，不失一般性，今後總假設F(0)=0。

變分問題二：

尋找

，使得成立

運算子

稱為非單調的，假如對於任意

，成立不等式

定義在H上的非線性泛函f(v)稱為凹泛函數，假如對於任意

以及

，有

設非線性泛函數f(v)可微，則f(v)是凹泛函數的必要充分條件是，f(v)的微分f'(v)是非單調的

（1）設L是場位運算子，則有等式

（2）設L是弱可微的運算子，則

假設定義在H上的非線性泛函f(v)存在微分

，而且微分

是非單調的。此外，再設場位運算子

滿足下面的條件：

（1）L是弱連續弱可微的；

（2）

（3）

我們要討論運算子方程的解存在問題以及唯一性問題，解的唯一性是很顯然的，事實上，設

，則有

因為

所以