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正規矩陣
鎖定
正規矩陣在數學中是指與自己的共軛轉置矩陣對應的復係數方塊矩陣。任意正規矩陣都可在經過一個酉變換後變為對角矩陣，反過來所有可在經過一個酉變換後變為對角矩陣的矩陣都是正規矩陣。
- 中文名
- 正規矩陣
- 外文名
- Normal matrix
- 學 科
- 線性代數
正規矩陣定義
有一類矩陣
，如對角矩陣、實對稱矩陣（
）、實反對稱矩陣（
）、厄米特矩陣（
）、反厄米特矩陣（
）、正交矩陣（
）以及酉矩陣（
）等，都有一個共同的性質：
。為了能夠用統一的方法研究他們的相似標準型，我們引入正規矩陣的概念。
設
，且
，則稱
為正規矩陣。
當正規矩陣
的全部特徵值為實數時，
是厄米特矩陣；
當正規矩陣
的全部特徵值為零或虛數時，
是反厄米特矩陣；
當正規矩陣
的全部特徵值的模為1時，
是酉矩陣。
其中，反對稱矩陣的特徵根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數反對稱矩陣的非零特徵根為純虛數將會如下： ， ， ， ，……，其中 是實數。實反對稱矩陣是正規矩陣（它們與伴隨矩陣可交換），因此滿足譜定理的條件，它説明任何實反對稱矩陣都可以用一個酉矩陣對角化。由於實反對稱矩陣的特徵值是複數，因此無法用實矩陣來對角化。然而，通過正交變換，可以把每一個斜對稱矩陣化為方塊對角線的形式。
正規矩陣性質
②
為正規矩陣，則與
酉相似的矩陣都是正規矩陣；
③
為正規矩陣，則
必有
個線性無關的特徵向量；
