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實反對稱矩陣
鎖定
- 中文名
- 實反對稱矩陣
- 外文名
- (real antisymmetric matrix)
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等代數(矩陣)
- 簡 介
- 一種反對稱矩陣
實反對稱矩陣定義
若矩陣A滿足條件A=-AT,則稱A為反對稱矩陣。由定義知反對稱矩陣一定是方陣,而且位於主對角線兩側對稱位置上的元素必符號相反,即
,其中i、j為任意不大於矩陣維數的實數。
實反對稱矩陣相關定理
實反對稱矩陣有如下性質:
性質1:奇數階反對稱矩陣的行列式值為0。
性質2:當A為n階實反對稱矩陣時,對於
有XTAX =0。
性質3:實反對稱矩陣的特徵值是零或純虛數。
性質5:若A為n階實反對稱矩陣,則存在n階正交矩陣Γ,使得
實反對稱矩陣例題解析
【例1】設A為n階反對稱方陣,A*為其伴隨矩陣,證明:當n為奇數時,A*為對稱方陣;當n為偶數時,A*為反對稱方陣。
證明 由於A*中每個元素均為A中的n-1階子式,故對任意數k有
【例2】證明:實反對稱矩陣的特徵根是零或純虛數。
證明 設A為實反對稱矩陣,λ是它的任意一個特徵根,而
是屬於特徵根λ的一個特徵向量,即
一方面,有
【例3】證明:1)若A,B為同階實對稱矩陣,則AB-BA的特徵根只能是0或純虛數;
2)若A為實反對稱矩陣,則|A+E|≠0。
證明 1)因為A,B都是實對稱矩陣,故:
(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=BA-AB=-(AB-BA),
故AB-BA為實反對稱矩陣,由上題知,其特徵根只能是0或純虛數。
2)設若|A+E|=0,則便有|-E-A|=0,這説明A有特徵根-1,這與A是實反對稱矩陣矛盾,故必|A+E|≠0。