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反對稱變換
鎖定
- 中文名
- 反對稱變換
- 外文名
- anti-symmetric transformation
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等代數(歐幾里得空間)
- 簡 介
- 一種線性變換
反對稱變換基本介紹
針對對稱變換，我們把歐氏空間中對任意
，滿足
的線性變換
叫做反對稱變換。
【例1】在歐氏空間R2中，規定線性變換σ為
，證明：σ是反對稱變換。
證明： 因為對任意
，有：
於是，
所以，
故σ是反對稱變換。
反對稱變換反對稱變換的性質
根據反對稱變換的定義，可以證得反對稱變換的以下一些性質：
證明 設
是V的組標準正交基，且
所以，σ是反對稱變換的充分必要條件是
，即σ關於V的標準正交基f內矩陣是反對稱矩陣。
性質1 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，如果V1是σ的不變子空間，則也是σ的不變子空間。
證明 對任意的向量
，有
而V1是σ的不變子空間，所以
，故
，於是得
．因此
，即
是σ的不變子空間。
性質2 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，則σ的特徵根是零或純虛數。
證明 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，A是σ關於V的某個標準正交基的
矩陣，
是A的任一特徵根，α是屬於特徵根
的特徵向量，則有：
一方面，
另一方面，有：
所以
，但
，從而
，故反對稱實矩陣的特徵根是零或純虛數，即σ的特徵根是零或純虛數。
