平面曲線

在數學中，平面曲線是可以是歐幾里德平面、仿射平面或投影平面中的曲線。 最常研究的情況是平滑平面曲線（包括分段平滑曲線）和代數平面曲線。

光滑平面曲線實際上是歐幾里德平面R²中的曲線，是一維平滑的流線形曲線。 這意味着平滑曲線是“局部看起來像線”的平面曲線，在每個點附近，它可以通過平滑函數映射到一條線上。相同的，可以通過方程f（x，y）= 0給出平滑平面曲線，其中f：R²→R是平滑函數，偏導數∂f/∂x和∂f/∂y在曲線的同一點都不會同時為0。 ^[1] 

代數平面曲線是由一個多項式方程f（x，y）= 0（或F（x，y，z）= 0）給出的仿射或投影平面中的曲線，其中F是多項式。）

代數曲線自18世紀以來就被廣泛研究。

每個代數平面曲線都具有一定的維度，定義方程的維度，等同於在代數閉合場的情況下曲線與一般位置的線的交點數。 例如，由公式x² + y² = 1給出的圓是2維的。

2維的非奇異平面代數曲線稱為圓錐截面，其投影與圓x² + y² = 1的投影（即方程x² + y²- z² = 0的投影曲線）都是同構的。 3維的平面曲線稱為立方平面曲線，如果它們是非奇異的橢圓曲線。 那些四維的平面曲線稱為四次平面曲線。 ^[2-3] 

直線（Straight line）

一般方程式：

參數方程：

方程：

圖像：

圓（Circle）

一般方程式：

參數方程：

圖像：

拋物線（parabola）

一般方程式：

參數方程：

圖像：

橢圓（Ellipse）

一般方程式：

參數方程：

圖像：

雙曲線（Hyperbola）

一般方程式：

參數方程：

圖像：