半純函數

半純函數在定義域中的某些點上沒有定義，除這些點外全純，我們稱這些點為極點。 函數在這些極點附近的冪級數展開可寫為(以單變量為例)羅朗展開式：f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c₂/(z-a)²+c₁/(z-a)+ c₀+a₁(z-a)+a₂(z-a)²+......, 這裏c_i和a_j都是常係數， z=a是極點。

全純函數是最簡單的半純函數，也稱解析函數， 就是説它沒有任何極點。 根據劉維爾定理，在緊致流形上， 全純函數只能是常值函數。

任何有理函數（即通過多項式加減乘除得到的函數）都是半純函數。 ^[1] 

複分析中，一個複平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。

每個D上的亞純函數可以表達為兩個全純函數的比（其分母不恆為0）：極點也就是分母的零點。

直觀的講，一個亞純函數是兩個性質很好的（全純）函數的比。這樣的函數本身性質也很“好”，除了分式的分母為零的點，那時函數的值為無窮。

從代數的觀點來看，如果D是一個連通集，則亞純函數的集合是全純函數的整域的分式域。這和有理數Q和整數Z的關係類似。

在數學中，黎曼曲面是德國數學家黎曼為了給多值解析函數設想一個單值的定義域而提出的一種曲面。用現代的語言説，黎曼曲面就是連通的一維複流形。黎曼曲面的研究不僅是單複變函數論的基本問題之一，而且與眾多的現代數學分支有緊密聯 系，如多複變函數論、複流形、代數幾何、代數數論、 自守函數等。

數學上，特別是在複分析中，一個黎曼曲面是一個一維複流形。黎曼曲面可以被認為是一個複平面的變形版本:在每一點局部看來，他們就像一片複平面，但整體的拓撲可能極為不同。例如，他們可以看起來像球或是環，或者兩個頁面粘在一起。

黎曼曲面的要點在於在他們之間可以定義全純函數(holomorphic function)。黎曼曲面被認為是研究這些函數的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數。

每個黎曼曲面都是二維實解析流形(也就是曲面)，但它有更多的結構(特別是一個復結構)，因為多值函數的無歧義的定義需要用到這些結構。一個實二維流形可以變成為一個黎曼曲面(通常有幾種不同的方式)當且僅當它是可定向的。所以球和環有復結構，但是莫比烏斯圈，克萊因瓶和投影平面沒有。

在一個黎曼曲面上，每個點都擁有一個同構於複平面上的一個開子集的開鄰域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定義亞純函數。

當D為整個黎曼球時，亞純函數域就是複平面上的單變量有理函數域，因為可以證明任意黎曼球上的亞純函數都是有理函數（這是所謂的GAGA原理的一個特例）。 ^[2] 

比如有理函數就是在擴充複平面上的亞純函數，它是兩個多項式的商而Q（z）的零點是R（z）的極點，即R（z）有有限多個極點，∞點是R（z）的極點或可去奇點。複平面上不是有理函數的亞純函數稱為超越亞純函數。

例如ctg( z)就是超越亞純函數，它以kπ為全部極點，超越亞純函數一定有無限多個極點。有理函數可以分為部分分式，即其中{ak}是R( z )的全部極點 ，Pk( u )是多項式 ， 當∞點是m階極點時，P0(z)是m階多項式。

所有的有理函數如

都是在整個複平面上的亞純函數。

函數

和

以及Γ函數和黎曼ζ函數都是在整個複平面上的亞純函數。

函數

在除去原點：0的整個複平面上有定義。但是，0不是這個函數的一個極點，而是一個本性奇點。因此，這個函數只是在C上的亞純函數，而不是在整個複平面上的亞純函數。

函數f(z)=ln z不是在整個複平面上的亞純函數，因為它只在複平面上的一個孤立點集上有定義。

由於亞純函數的極點是孤立點，它們至多有可數多個。極點的個數可以有無窮多個，例如函數：

使用解析拓延來消去可去奇點後，亞純函數可以進行加減法和乘法的運算。當g(z)在D的連通部分上不恆為零時，還可以定義f/g。因此，當D連通時，所有的亞純函數構成一個域，為複數域的一個域擴張。

複平面上的超越亞純函數也有一個部分分式分解定理 ， f(z)是以{ak}為極點集的超越亞純函數，設f(z)在極點ak處羅朗展式的主部為，Pk(u)是一個多項式，於是f(z)可表作：中g(z)是整函數，hk(z)是適當選取的多項式。 對於超越亞純函數有一個類似畢卡定理的結果 ：f(z)是超越亞純函數，則最多除去兩個例外值外 ，對所有其他值W， f(z)－W一定有無窮多個零點。

全純函數即解析函數。解析函數是能局部展成冪級數的函數，它是複變函數論研究的主要對象。解析函數類包括了數學及其在自然科學和技術應用中所遇到的大多數函數，這類函數關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函數在其自然存在的域中代表唯一的一個函數，因此，對解析函數的研究具有特殊的重要性。

對解析函數的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函數理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。

法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函數理論的奠基者。1814年他定義正則函數為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函數在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函數的定義，只要求函數在定義域中處處有導數。

外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函數的研究。他定義正則函數為可以展開為冪級數的函數，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函數。柯西的方法限於研究完全解析函數的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。 ^[3]