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高斯-博內定理

在微分幾何中，高斯-博內定理（亦稱高斯-博內公式）是關於曲面的圖形（由曲率表徵）和拓撲（由歐拉示性數表徵）間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯和皮埃爾·奧西安·博內命名的，前者發現了定理的一個版本但從未發表，後者1848年發表了該定理的一個特例。

高斯-博內定理定理內容

設M是一個緊的二維黎曼流形，

是其邊界。令K為M的高斯曲率，

為

的測地曲率。則有

其中dA是該曲面的面積元，ds是M邊界的線元。此處

是

如果

的邊界是分段光滑的，我們將

視作光滑部分相應的積分之和，加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。^[1]

廣義高斯-博內定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立於偶數維數的閉黎曼流形。在偶數維數的閉黎曼流形，歐拉示性數仍然可以表達為曲率多項式的積分。

公式：

這是對於高維空間的直接推廣。

例如在四維空間：

陳省身大師曾給出高維裏高斯-博內定理的一個內藴證明。用指南車也能給出二維高斯-博內定理的操作式證明。^[2]

參考資料

1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Gauss–Bonnet theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
2. P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 1-4614-7866-9.

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