開平方

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方（extraction of square root），其中a叫做被開方數。在實數範圍內a必須大於或等於零，即a為非負數；在複數範圍內，定義i的平方是-1，即-1的平方根是±i，記作i²=-1。

開平方是平方的逆運算，只要知道平方的計算方法，開平方就迎刃而解了。

如果令十位數值為A，個位數值為B，即為A×10+B，根據二數和的平方有：(A×10+B)²=(A×10)²+2(A×10)×B+B²=(A²)×100+(20A+B)×B。

舉例説明：例359²計算方法

1、3²=9，

2、(20×3+5)×5=325，

3、(20×35+9)×9=6381，

4、將這些數，按兩位分節合起來：90000+32500+6381=128881。得359²=128881。

將這些計算步驟倒過來，就是開平方。同理，可以得開立方及n次方的方法。

我國古代數學的成就燦爛輝煌，早在公元前一世紀問世的我國經典數學著作《九章算術》裏，就出現了基於算籌的開平方法．後來又有北宋數學家賈憲進一步對開方術完善，形成了成熟的程序化開方方法：增乘開平方法

據史料記載，國外直到公元五世紀才有對於開平方法的介紹 ^[1]  。

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

2．根據左邊第一段裏的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個餘數（豎式中的256）；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）；

5．用所求的平方根的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256，説明試商4就是平方根的第二位數）；

6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．

如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．

例如求 的近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。

筆算開平方運算較繁，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值．

實例1　開方公式

例如，A=5：

5介於2的平方至3的平方;之間。取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，最好取中間值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；輸入值大於輸出值，負反饋；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；輸入值小於輸出值，正反饋；

即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=0.07272，0.07272×1/2=0.03636，2.2+0.03636=2.23636。取3位數2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.2421525，2.2421525-2.23=0.0121525，0.0121525×1/2=0.00607，2.23+0.006=2.236，取4位數。

每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

例如A=200：

200介如10的平方至20的平方之間。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。取15：15+（200/15-15)1/2=14。取19也一樣得出14：19+（200/19-19)1/2=14。

14+（200/14-14）1/2=14.1。

14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14。

實例2　精確開方公式

對於一個要開平方的數C，先試估一個儘可能接近方根的數a，使得C=a²±b，且b≤a，則

例如，√3000：

因為3000=3025-25=55²-25

所以√3000≈55-25/（2×55）-25²/（8×55³）= 54.7722577......，一次性得到了7位有效數字的精確度。