拉普拉斯变换

工程数学中常用的一种积分变换
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拉普拉斯变换(LaplaceTransform)是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏变换。 [1]
拉普拉斯变换是一个线性变换,可将一个有参数实数t的函数f(t)转换为一个参数为复数s的函数F(s),也可表述为将时间域上的信号f(t)转换为复频域上的信号F(s)。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用,特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都有着十分重要的作用。
中文名
拉普拉斯变换
外文名
Laplace transform
别    名
拉氏变换
表达式
F(s)=L{f(t)}
提出时间
约1812年
适用领域
微分方程积分方程偏微分方程控制系统工程,信号处理,电路理论
应用学科
数学工程数学物理学
性    质
积分变换
相关著作
概率的分析理论》《信号与系统》

定义

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钻探民篮垫希民若函数f戒旬放想鸦(t)是定义在区间(-∞, +∞)上的实值函数,它的双边拉普拉斯变换式定义为
若函数f(t)是定义在区间[0, +∞)上的实值函数,它的单边拉普拉斯变换式定义为
单影胶迁边和双边的拉普拉斯变换的区别在于积分的下限。在t<0时不同,而在t≥0时相同的两个函数,其双边拉普拉斯变换不同。同理,任何在t<0时都为0的函数,其双边和单边拉普拉斯变换相同。由于拉普拉斯变换通常用于将时间域上的因果信号转换到复频域上,祖恋t<0时f(t)=0,所以实际情况下单边拉普拉斯变换的运用更为广泛。
F(s)称为f(t)的像函数,f(t)称为F(s)的原函数
注意到,F(s)是把一个时间域函数f(t)变换到复频域后的复变函数
收敛因子,复变量s=σ+jω为一个复数形式的频率,简称复频率,其中实部σ和虚部ω可为正、负、零。 [2]
通常将拉普拉斯变换表示为
,因此F(s)和f(t)之间的变换关系记作
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发展历史

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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年),主要研究天体力学物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具,但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。 1812年拉普拉斯在《概率的分析方法》中总结了当时整个概率论的研究,论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用,并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换后来也启发了海维塞德,他发现了运算微积分在电工理论中的应用。 [3]

存在条件

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拉普拉斯变换存在的充分条件是:
(1) 在-∞≤t≤+∞或0≤t≤+∞的任一有限区间内,除了有限个第一类间断点,函数f(t)及其导数是处处连续的。
(2) 存在常数M>0,σ≥0,对于任意t∈[0, +∞]有
也可写为
此时称
绝对可积,说明只有选择适当的σ值才能使积分收敛,f(t)的双边或单边拉普拉斯变换存在。
σ值为0时,拉普拉斯变换变为傅里叶变换,σ值不为0时,s=σ+jω。使拉普拉斯变换收敛的σ值(或Re[s])范围称为拉普拉斯变换的收敛域(Region of Convergence),简记为ROC。一个函数f(t)经过拉普拉斯变换后得到F(s),必须同时列出收敛域才完整。

公式推导

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一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统,对
复指数输入信号的响应y(t)为
其中
若s为虚数(即s=jω),上式对应于h(t)的傅里叶变换。若对于一般的复变量s来说,上式就称为单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。
以f(t)替代h(t)表示为
令s=σ+jω,
,相当于对
进行傅里叶变换
收敛因子,因此只要找到合适的σ就可以使得
收敛,即
此时s的取值范围定义为拉普拉斯变换的收敛域ROC,在s平面内由平行于jω轴的带状区域组成。
收敛域

基本性质

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线性性质

则有

时移性质

则有

频移性质

则有

尺度变换性质

则有

共轭性质

则有

卷积性质

则有

微分性质

对t微分,可求f'(t)的像函数为
一般地,原函数f(t)求n次导为
对s微分,像函数F(s)求导为
一般地,像函数F(s)求n次导为

积分性质

对t积分,可得f(t)积分的像函数为
一般地,原函数f(t)求n重积分为
对s积分,可得像函数F(s)为
一般地,像函数F(s)求n重积分为

初值定理与终值定理

若t<0时,f(t)=0,可直接从拉普拉斯变换式中计算t从正值方向趋于0时f(t)的值,即为初值;以及t趋于∞时f(t)的值,即为终值。
初值定理为
终值定理为

常见函数的Laplace变换

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单位冲激函数

已知函数f(t)=δ(t)为单位冲激函数(Unit impluse function),定义为
其Laplace变换为
ROC为σ∈R。
若δ(t)有一个时移t0,函数变为δ(t-t0),其Laplace变换为
ROC为σ∈R。

单位冲击偶函数

已知函数f(t)=δ'(t)为单位冲击偶函数,定义为
其Laplace变换为
ROC为σ∈R。

单位阶跃函数

已知函数f(t)=ε(t)为单位阶跃函数(Unit step function),定义为
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

斜坡函数

已知函数f(t)=R(t)为斜坡函数(Ramp function),定义为
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

指数函数

已知函数
指数函数(Exponential function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>a。

余弦函数

已知函数
余弦函数(Cosine function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

正弦函数

已知函数
正弦函数(Sine function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

双曲余弦函数

已知函数
双曲余弦函数(Hyperbolic cosine function),由复变函数的结论可知
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

双曲正弦函数

已知函数
双曲正弦函数(Hyperbolic sine function),由复变函数的结论可知
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

余弦衰减函数

已知函数
为余弦衰减函数(Cosine decay function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>a。

正弦衰减函数

已知函数
为正弦衰减函数(Sine decay function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>a。

幂函数

已知函数
幂函数(Power function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>0。

相关概念

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拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换是已知F(s)求f(t)的过程,用
表示,因此f(t)和F(s)之间的变换关系记作
将s表示成s=σ+jω,此时函数f(t)的拉普拉斯变换为
此时s=σ+jω在收敛域中,对上式求逆变换得
将两边各乘
如此便可从拉普拉斯变换中恢复f(t):在收敛域内,σ固定不变,ω从-∞变化到+∞,因此ds=jdω,并将σ+jω表示为s可得拉普拉斯逆变换的基本表达式为

傅里叶变换

已知复变量s=σ+jω,若σ=0,s=jω,此时双边拉普拉斯变换表达式为
上式即为f(t)的傅里叶变换,表示为
若σ≠0,s不为纯虚数,将s表示为s=σ+jω,此时双边拉普拉斯变换表达式为
由上式可知,f(t)的拉普拉斯变换可看作f(t)乘以一个实指数信号
之后的傅里叶变换。 [2]

意义

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傅里叶变换虽然应用广泛,但缺点很明显:有些函数f(t)不一定满足傅立叶变换的狄里赫利条件,求解傅里叶变换时较为困难,或者f(t)在∞处不为0,无法求解傅里叶变换。在f(t)上乘以衰减因子
后,使
在t→∞时信号幅度趋于0,此时
的积分变得更容易收敛,存在傅里叶变换,即通过将傅里叶变换的纯虚数频率jω扩展到复数域s=σ+jω,使之成为拉普拉斯变换,因此拉普拉斯变换可看作是傅里叶变换的一种推广。
在线性时不变系统的分析和研究中,例如分析由线性常系数微分方程表示的系统,拉普拉斯变换是特别有用的分析工具。

实际运用

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控制系统

在控制系统设计中,需要从实际出发,首先以研究对象为基础,将其规划为一个时域数学模型,然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型,最后如果想要结果表现的更直观,可以使用图形来表示,而图形的表示方法是以传递函数(复数域数学模型)为基础,所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。 [4]
利用拉氏变换求解数学模型时,可以当作求解一个线性方程,换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号,还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号,反之,拉氏逆变换是将复数域信号变为时域信号。 [4]
例如,通过传递函数H(s)描述电机系统响应,利用拉普拉斯变换设计和优化自动控制系统,通过传递函数分析设计合适的PID控制器

电路分析

在分析电路系统瞬态响应时,拉普拉斯变换是重要的工具。通过将时间域上的微分方程转换为频域上的代数方程,可大大简化各类复杂电路的分析过程。
例如,RLC电路的开关开闭前后的瞬态响应分析,交流电路频率响应分析,求解谐振电路的频率响应和谐振频率

信号处理

在信号处理中,拉普拉斯变换的应用体现在对信号的频谱分析滤波器设计和系统稳定性分析等方面。
例如,设计满足特定要求的低通、高通、带通或带阻滤波器,通过传递函数H(s)分析系统对不同频率信号的响应,根据系统的零极点分布判定系统的稳定性。
零极点判定系统稳定性

人物相关

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皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace,1749年3月23日—1827年3月5日),法国著名天文学家和数学家。拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,天体演化学的创立者之一,在研究天体问题的过程中,创造和发展了许多数学的方法,例如用他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程拉普拉斯定理等,在科学技术的各个领域有着广泛的应用。此外他还是分析概率论的创始人,可以说他是应用数学的先躯。
拉普拉斯用数学方法证明了行星平均运动的不变性,即行星的轨道大小只有周期性变化,这就是著名的拉普拉斯定理。
拉普拉斯把牛顿万有引力定律应用到整个太阳系,1773年解决了一个当时著名的难题:解释木星轨道为什么在不断地收缩,而同时土星的轨道又在不断地膨胀。
1784~1785年,拉普拉斯求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示,这个势函数满足一个偏微分方程,即著名的拉普拉斯方程。1785年他被选为科学院院士。
1786年证明行星轨道的偏心率和倾角总保持很小和恒定,能自动调整,即摄动效应是守恒和周期性的,即不会积累也不会消解。并证明为偏心率和倾角的3次幂。
1787年发现月球加速度地球轨道的偏心率有关,从理论上解决了太阳系动态中观测到的最后一个反常问题。
拉普拉斯在数学上还有许多贡献,如1812年他发表了重要的《概率分析理论》一书。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇,专著合计有4006多页。其中最有代表性的专著有《天体力学》《宇宙体系论》《概率分析理论》。
拉普拉斯的主要注意力集中在天体力学的研究上面,1796年,他的著作《宇宙体系论》问世。因他长期从事大行星运动理论和月球运动理论方面的研究,尤其是他特别注意研究太阳系天体摄动,太阳系的普遍稳定性问题以及太阳系稳定性的动力学问题,因此他被誉为法国的牛顿和天体力学之父。
拉普拉斯在《宇宙体系论》一书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。在总结前人研究的基础上取得了大量重要成果后,他的这些成果集中在1799~1825年出版的5卷16册巨著《天体力学》之内,这部著作中第一次提出天体力学这一名词,是经典天体力学的代表作。
在《天体力学》中,他独立于康德,提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的,而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说,因此,人们常常把他们二人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。