- 中文名
- 拉普拉斯变换
- 外文名
- Laplace transform
- 别 名
- 拉氏变换
- 表达式
- F(s)=L{f(t)}
- 提出者
- 皮埃尔·西蒙·拉普拉斯
- 提出时间
- 约1812年
- 性 质
- 积分变换
- 相关著作
- 《概率的分析理论》《信号与系统》
定义
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若函数f(t)是定义在区间[0, +∞)上的实值函数,它的单边拉普拉斯变换式定义为
单影胶迁边和双边的拉普拉斯变换的区别在于积分的下限。在t<0时不同,而在t≥0时相同的两个函数,其双边拉普拉斯变换不同。同理,任何在t<0时都为0的函数,其双边和单边拉普拉斯变换相同。由于拉普拉斯变换通常用于将时间域上的因果信号转换到复频域上,祖恋t<0时f(t)=0,所以实际情况下单边拉普拉斯变换的运用更为广泛。
通常将拉普拉斯变换表示为
,因此F(s)和f(t)之间的变换关系记作
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发展历史
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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年),主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具,但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。 1812年拉普拉斯在《概率的分析方法》中总结了当时整个概率论的研究,论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用,并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换后来也启发了海维塞德,他发现了运算微积分在电工理论中的应用。 [3]
存在条件
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也可写为
σ值为0时,拉普拉斯变换变为傅里叶变换,σ值不为0时,s=σ+jω。使拉普拉斯变换收敛的σ值(或Re[s])范围称为拉普拉斯变换的收敛域(Region of Convergence),简记为ROC。一个函数f(t)经过拉普拉斯变换后得到F(s),必须同时列出收敛域才完整。
公式推导
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其中
以f(t)替代h(t)表示为
基本性质
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线性性质
若
则有
时移性质
若
则有
频移性质
若
则有
尺度变换性质
若
则有
共轭性质
若
则有
卷积性质
若
则有
微分性质
若
对t微分,可求f'(t)的像函数为
一般地,原函数f(t)求n次导为
对s微分,像函数F(s)求导为
一般地,像函数F(s)求n次导为
积分性质
若
对t积分,可得f(t)积分的像函数为
一般地,原函数f(t)求n重积分为
对s积分,可得像函数F(s)为
一般地,像函数F(s)求n重积分为
初值定理与终值定理
若t<0时,f(t)=0,可直接从拉普拉斯变换式中计算t从正值方向趋于0时f(t)的值,即为初值;以及t趋于∞时f(t)的值,即为终值。
初值定理为
终值定理为
常见函数的Laplace变换
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单位冲激函数
其Laplace变换为
ROC为σ∈R。
若δ(t)有一个时移t0,函数变为δ(t-t0),其Laplace变换为
ROC为σ∈R。
单位冲击偶函数
已知函数f(t)=δ'(t)为单位冲击偶函数,定义为
其Laplace变换为
ROC为σ∈R。
单位阶跃函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
斜坡函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
指数函数
其Laplace变换为
ROC为σ>a。
余弦函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
正弦函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
双曲余弦函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
双曲正弦函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
余弦衰减函数
已知函数
为余弦衰减函数(Cosine decay function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>a。
正弦衰减函数
已知函数
为正弦衰减函数(Sine decay function)。
其Laplace变换为
ROC为σ>a。
幂函数
其Laplace变换为
ROC为σ>0。
相关概念
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拉普拉斯逆变换
将s表示成s=σ+jω,此时函数f(t)的拉普拉斯变换为
此时s=σ+jω在收敛域中,对上式求逆变换得
将两边各乘
得
如此便可从拉普拉斯变换中恢复f(t):在收敛域内,σ固定不变,ω从-∞变化到+∞,因此ds=jdω,并将σ+jω表示为s可得拉普拉斯逆变换的基本表达式为
傅里叶变换
已知复变量s=σ+jω,若σ=0,s=jω,此时双边拉普拉斯变换表达式为
由上式可知,f(t)的拉普拉斯变换可看作f(t)乘以一个实指数信号
之后的傅里叶变换。 [2]
意义
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傅里叶变换虽然应用广泛,但缺点很明显:有些函数f(t)不一定满足傅立叶变换的狄里赫利条件,求解傅里叶变换时较为困难,或者f(t)在∞处不为0,无法求解傅里叶变换。在f(t)上乘以衰减因子
后,使
在t→∞时信号幅度趋于0,此时
的积分变得更容易收敛,存在傅里叶变换,即通过将傅里叶变换的纯虚数频率jω扩展到复数域s=σ+jω,使之成为拉普拉斯变换,因此拉普拉斯变换可看作是傅里叶变换的一种推广。
在线性时不变系统的分析和研究中,例如分析由线性常系数微分方程表示的系统,拉普拉斯变换是特别有用的分析工具。
实际运用
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控制系统
在控制系统设计中,需要从实际出发,首先以研究对象为基础,将其规划为一个时域数学模型,然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型,最后如果想要结果表现的更直观,可以使用图形来表示,而图形的表示方法是以传递函数(复数域数学模型)为基础,所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。 [4]
利用拉氏变换求解数学模型时,可以当作求解一个线性方程,换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号,还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号,反之,拉氏逆变换是将复数域信号变为时域信号。 [4]
电路分析
信号处理
人物相关
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皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace,1749年3月23日—1827年3月5日),法国著名天文学家和数学家。拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,天体演化学的创立者之一,在研究天体问题的过程中,创造和发展了许多数学的方法,例如用他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、拉普拉斯定理等,在科学技术的各个领域有着广泛的应用。此外他还是分析概率论的创始人,可以说他是应用数学的先躯。
拉普拉斯在数学上还有许多贡献,如1812年他发表了重要的《概率分析理论》一书。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇,专著合计有4006多页。其中最有代表性的专著有《天体力学》《宇宙体系论》《概率分析理论》。
拉普拉斯的主要注意力集中在天体力学的研究上面,1796年,他的著作《宇宙体系论》问世。因他长期从事大行星运动理论和月球运动理论方面的研究,尤其是他特别注意研究太阳系天体摄动,太阳系的普遍稳定性问题以及太阳系稳定性的动力学问题,因此他被誉为法国的牛顿和天体力学之父。
拉普拉斯在《宇宙体系论》一书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。在总结前人研究的基础上取得了大量重要成果后,他的这些成果集中在1799~1825年出版的5卷16册巨著《天体力学》之内,这部著作中第一次提出天体力学这一名词,是经典天体力学的代表作。
在《天体力学》中,他独立于康德,提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的,而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说,因此,人们常常把他们二人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。