拉普拉斯變換

一個定義在區間

的函數

,它的拉普拉斯變換式

定義為

稱為

的象函數，

稱為

的原函數。

通常用

表示對方括號裏的時域函數作拉氏變換，記作

式中，

是復變量

的函數，是把一個時間域的函數

變換到複頻域內的複變函數。

為收斂因子。

為一個複數形式的頻率，簡稱複頻率，其中實部

恆為正，虛部

可為正、負、零。

表達式

中，右邊的積分為有限值。

拉普拉斯變換應用過程中，需要從實際出發，首先以研究對象為基礎，將其規劃為一個時域數學模型，然後再借助於拉普拉斯變換數學工具轉變為復域數學模型，最後如果想要結果表現的更直觀，可以使用圖形來表示，而圖形的表示方法是以傳遞函數(復域數學模型)為基礎，所以拉氏變換是古典控制理論中的數學基礎。利用拉氏變換變換求解數學模型時，可以當作求解一個線性方程，換而言之拉氏變換不僅可用來將簡單的時域信號轉換為複數域信號，還可以用來求解控制系統微分方程。拉氏變換是將時域信號變為複數域信號，反之，拉氏反變換是將複數域信號變為時域信號。 ^[6] 

拉普拉斯變換 ^[2]  是對於t≥0函數值不為零的連續時間函數x(t)通過關係式

(式中-st為自然對數底e的指數)變換為復變量s的函數X(s)。它也是時間函數x(t)的“複頻域”表示方式。

拉普拉斯逆變換是已知F(s) 求解 f(t) 的過程。用符號

表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：對於所有的t>0，f(t)= mathcal ^ left

=frac int_ ^ F(s)' e'ds，c' 是收斂區間的橫座標值，是一個實常數且大於所有F(s)' 的個別點的實部值。

據此，在“電路分析”中，元件的伏安關係可以在複頻域中進行表示，即電阻元件：V=RI,電感元件：V=sLI,電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯，並在電容兩端引出電壓作為輸出，那麼就可用“分壓公式”得出該系統的傳遞函數為H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，於是響應的拉普拉斯變換Y（s）就等於激勵的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數H（s）的乘積，即Y(s)=X(s)H(s)

如果定義：f(t)是一個關於t的函數，使得當t<0時候，f(t)=0；s是一個復變量；

是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯變換結果。

則 f(t)的拉普拉斯變換由下列式子給出：

。

為簡化計算而建立在實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。用 f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s=σ+jω；的一個函數，其中σ和ω; 均為實變數，j²=-1。F(s)和f(t)間的關係由下面定義的積分所確定：

如果對於實部σ >σ_c的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σ_c時積分不存在，便稱 σ_c為f(t)的收斂係數。對給定的實變量函數 f(t)，只有當σ_c為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上，常稱F(s)為f(t)的象函數，記為F(s)=L[f(t)]；稱f(t)為F(s)的原函數，記為f(t)=L^-1[F(s)]。

函數變換對和運算變換性質 　利用定義積分，很容易建立起原函數 f(t)和象函數 F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在複數域內的運算間的對應關係。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。

拉普拉斯變化的存在性：為使F(s)存在，積分式必須收斂。有如下定理：

如因果函數f(t)滿足：（1）在有限區間可積，（2）存在σ₀使|f(t)|e^-σt在t→∞時的極限為0，則對於所有σ大於σ₀，拉普拉斯積分式絕對且一致收斂。

主要有線性性質、微分性質、積分性質、位移性質、延遲性質、初值定理與終值定理 ^[1]  等性質。。

設F(s)=L[f(t)]，則有

它們分別表示時域中的位移定理和復域中的位移定理。 ^[3] 

。 ^[3] 

法國數學家、天文學家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學和物理學。他認為數學只是一種解決問題的工具，但在運用數學時創造和發展了許多新的數學方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結了當時整個概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調查、氣象等方面的應用，並導入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導致了後來海維塞德發現運算微積分在電工理論中的應用。 ^[4] 

對於任何函數

，假定

時

，當

足夠大時，函數

的傅立葉變換就有可能存在，即

再根據傅立葉逆變換可得

記

，

，並注意到

，於是我們便可得到

當

，其實就是

的傅立葉變換，因此有時候我們稱傅立葉是特殊的拉普拉斯變換 ^[5]  。引入

的原因是：

不一定滿足傅立葉變換的狄裏赫利條件，而

在

足夠大時可以滿足傅立葉變換的條件。

的拉普拉斯變換本質是

的傅立葉變換，對於

而言，這種變換改變傅立葉正變換中的原函數（原函數乘以指數衰減函數項），也改變了傅立葉逆變換的積分因子（

），這種變換就是

的拉普拉斯變換。應當注意此時的

，它的討論範圍就不再單單是頻率

而是一個複數(包含頻率

)的

。

有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，

在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。