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減函數
鎖定
減函數定義
一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)> f(x2),那麼就説f(x)在區間D上是減函數。
[1]
即隨着自變量x增大，函數值y減小的函數為減函數。
減函數單調性
減函數單調性的定義
減函數單調性的證明
用定義法證明單調性的步驟：
（1）任取x1,x2∈D，且滿足x1<x2；
（2）作差f(x1)-f(x2)；
（3）變形（通常是因式分解和配方）；
（4）定號（即判斷f(x1)-f(x2)的正負）；
在證明函數為減函數時，只需要證明：當x1<x2時f(x1)-f(x2)>0。在減函數的圖像中，函數圖像從左往右是下降的，即函數值隨自變量的增大而減小。
減函數單調性的判斷方法
（1）定義法：即“取值（定義域內）→作差→變形→定號→判斷”；
（2）圖像法：先作出函數圖像，利用圖像直觀判斷函數的單調性；
（4）求導法：假定函數f在區間[a,b]上連續且在(a,b)上可微，若每個點x∈(a,b)有f'(x)>0，則f在[a,b]上是遞增的；若每個點x∈(a,b)有f'(x)<0，則f在[a,b]上是遞減的。
[2]
減函數注意事項
（2）函數f(x)在給定區間上的單調性是函數在該區間上的整體性質；
（3）函數的單調性定義中x1,x2有三個特徵：任意性、有大小、屬於同一個單調區間；
（5）區間端點的寫法：對於單獨的一點，由於它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在單調性問題，因此在寫單調區間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對於某些點無意義時，單調區間就不包括這些點。
[3]
減函數性質
（1）增函數+增函數=增函數；
（2）減函數+減函數=減函數；
（3）增函數-減函數=增函數；
（4）減函數-增函數=減函數。
減函數實例
判斷函數y=-x^3的單調性。
解：易得該函數是整函數，故定義域為R。
（1）利用定義法來判斷該函數的單調性。
任取x1,x2∈R，且滿足x1<x2，則有：
最終兩個因式中第一個因式小於零，第二個因式恆大於零，且兩因式前有一個負號，故有f(x1)-f(x2)>0，即有：當x1-x2<0時，有f(x1)-f(x2)>0，故該函數在R上為減函數。
（2）利用圖像法來判斷。
y=x^3的圖像
（3）利用求導法來判斷。
對函數進行求導，得
恆成立，故有該函數在定義域R上為減函數。
