中心對稱圖形

在平面內，把一個圖形繞着某個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。旋轉前後圖形上能夠重合的點叫做對稱點．

（1）有一個對稱中心——點。

（2）圖形繞中心旋轉180°。

（3）旋轉後兩圖形重合。

連接中心對稱圖形上每一對對稱點的線段都經過對稱中心，且被對稱中心平分。 ^[1] 

在平面內，把一個圖形繞某一定點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就説這兩個圖形關於這個點成中心對稱，這個點叫做對稱中心，旋轉後兩個圖形上能夠重合的點叫做關於對稱中心的對稱點。

如圖1，△ABC繞着點O旋轉180°，和△A′B′C′能夠完全重合，則這兩個三角形關於點O對稱，點O叫對稱中心，A與A′，B與B′，C與C′叫關於O的對稱點。

注意：(1)中心對稱是指兩個圖形的關係，成中心對稱的兩個圖形只有一個對稱中心，並且一個圖形上的所有點關於對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反過來，另一個圖形上的所有點關於這個中心的對稱點都在這個圖形上；

（2）中心對稱與中心對稱圖形之間的關係

區別：①中心對稱是指兩個圖形的關係，中心對稱圖形是指具有某種性質的圖形。

②成中心對稱的兩個圖形的對稱點分別在兩個圖形上，中心對稱圖形的對稱點在一個圖形上。

③兩個圖形成中心對稱，其對稱中心可能在兩個圖形的外部，也可能在兩個圖形的內部，還可能在兩個圖形的某一公共點上；中心對稱圖形的對稱中心一定在這個圖形的內部。 ^[3] 

聯繫：若把中心對稱圖形的兩部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那麼這個整體也就是中心對稱圖形．

(1)關於中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；

(2)關於中心對稱的兩個圖形是全等形；

(3)如果兩個圖形的對應點連成的線段都經過某一點，並且被該點平分，那麼這兩個圖形關於這點成中心對稱；

(4)中心對稱的特徵揭示了其圖形的特徵. 如上圖所示，如果△ABC與△A′B′C′關於點O成中心對稱，則：①A，O，A′；B，O，B′；C，O，C′均三點共線，且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；②△ABC≌△A′B′C′；

(5)如果已知△ABC與△A′B′C′關於某點成中心對稱，則點O必為AA′、BB′、CC′的中點，且它們是同一點，故也可以連結AA′、BB′，則其交點即為對稱中心。

兩個點關於原點對稱時，它們的座標符號相反，即點P(x,y)關於原點的對稱點為P′(－x,－y)。

理解關於原點對稱的點的座標的特徵時，要結合圖形理解記憶，要善於將點的位置關係轉化為點的座標的數量關係或將點的座標的數量關係轉化為點的位置關係。

1、對稱中心平分中心對稱圖形內通過該點的任意線段且使中心對稱圖形的面積被平分。

2、成 ^[2]  中心對稱的兩個圖形全等。

3、成中心對稱的兩個圖形上每一對對稱點所連成的線段都被對稱中心平分。

區分：中心對稱是兩個圖形間的位置關係，而中心對稱圖形是一種具有獨特特徵的圖形。

常見的中心對稱圖形有：線段，矩形，菱形，正方形，平行四邊形，圓,邊數為偶數的正多邊形等。

例如：正偶數邊形是中心對稱圖形，正奇數邊形不是中心對稱圖形；正六角形是中心對稱圖形，等腰梯形不是中心對稱圖形；等邊三角形（正三角形）不是中心對稱圖形，反比例函數的圖像雙曲線是以原點為對稱中心的中心對稱圖形。

中心對稱的兩個圖形中的對應線段平行相等。

下列説法：

①成中心對稱的兩個圖形形狀一樣，大小一樣；

②成中心對稱的兩個圖形必須重合；

③形狀一樣，大小一樣的兩個圖形成中心對稱；

④旋轉後能夠重合的兩個圖形成中心對稱。

其中説法正確的個數是（B　）

A. 0個　B. 1個　C. 2個　D. 3個

解析：

要注意能重合與必須重合，旋轉與旋轉180°的區別．由成中心對稱的性質知，成中心對稱的兩個圖形必定能重合，故①正確；成中心對稱的兩個圖形能重合，但是繞中心旋轉180°後能重合，未旋轉時它們不是必須重合，故②錯誤；形狀一樣，大小一樣的兩個圖形不一定處在成中心對稱的位置，由中心對稱的判定知，能重合的兩個圖形不一定成中心對稱，故③錯誤；成中心對稱的兩個圖形旋轉後能重合，關鍵是要旋轉180°後能重合，並非旋轉任意角度就重合，故④錯誤．説法正確的個數只有1個，故選B。

例2、如圖2所示，請在網格中畫出四邊形A′B′C′D′，使它與原四邊形ABCD關於點O成中心對稱。

尋找A、B、C、D關於中心O的對稱點A′、B′、C′、D′，如A點對稱點畫法：①連結OA；②延長AO至A′，使OA′=OA，A′即為所求。

(1)連結OA，並延長AO；

(2)在AO延長線上截取OA′=OA，得A的對稱點A′；(用刻度尺或圓規截取，不能估計)

(3)依次畫出B、C、D關於點O′的對稱點B′、C′、D′，連結A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．

如圖所示，得四邊形A′B′C′D′為所求的四邊形。

(1)由中心對稱圖形性質：對應點與中心連線在一條直線上，並且被對稱中心平分，因此畫圖時，將A與O連結並延長一倍即可得到對應點A′；

(2)網格上對應點也可以通過數單位長度來確定對應點；

(3)一個圖形既軸對稱又中心對稱一定有兩條或兩條以上的對稱軸。