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琴生不等式
鎖定
目錄
琴生不等式定義公式
1.若
是區間
上的下凸函數，則對任意的
，有不等式:
當且僅當
時等號成立。
2.其加權形式為：
若
是區間
上的下凸函數，則對任意的
，且
，
為正數，有
琴生不等式證明
此處證明加權形式，令
即可證明一般形式
當n=1結論顯然成立，下面討論n≥2時的情況
當n=2，則由於
是[a,b]上的下凸函數，∴在[a,b]內，
在連接
的直線
之下,而
,
設結論對n-1成立，則
,
,
琴生不等式應用
有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了，如今可以非常容易證明一般情況的均值不等式。
比如
其中前面兩個取
就可以了
後面一個取
就可以了。
同時，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含義是不同的。
琴生不等式涉及概率密度函數的形式
假設Ω是實線的可測子集，f（x）是一個非負函數
在概率語言中，f是概率密度函數。
然後Jensen的不等式變成了關於凸積分的下面的陳述：
如果g是任何實值可測函數且φ在g的範圍內是凸的，那麼：
如果g（x）=x，那麼這種不等式的形式可以簡化為一個常用的特例：
琴生不等式例如：隨機變量的偶數矩
如果g（x）=x，並且X是一個隨機變量，那麼g是凸的
所以
特別是，如果有的甚至瞬間2N的X是有限的，X具有有限的均值。這個論證的延伸表明X具有每個階的有限矩
劃分ñ。
琴生不等式替代有限形式
令Ω= {x1，...xn}，並且以μ為Ω上的計數度量，則一般形式簡化為關於和的聲明：
，
條件是λi≥0和
還有一個無限的離散形式。
琴生不等式統計物理學
當凸函數是指數函數時，Jensen不等式在統計物理學中特別重要，給出：
這種情況下的證明非常簡單（參見Chandler，第5.5節）。理想的不平等直接來自書寫
- {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {X} \ rightname = {E ^ {\ operatorname {E} [X]} \ operatorname {E} \ [X]} \]}
然後應用不等式ë≥1 +X至最終指數。
琴生不等式信息論
如果p（X）是用於真正的概率分佈X和q（X）是另一種分佈，然後施加Jensen不等式隨機變量ÿ（X）=q（X）/p（X）和函數φ（ÿ）= -log（y）給出
因此：
一個稱為吉布斯不平等的結果。
它表明，當代碼是基於真實概率p而不是任何其他分佈q分配時，平均消息長度被最小化。即非負的量被稱為相對熵的q從p。
由於-log（X）為嚴格凸函數X＞ 0，它遵循：當等號成立p（X）等於q（X）幾乎無處不在。
琴生不等式Rao-Blackwell定理
主要文章：Rao-Blackwell定理
如果L是一個凸函數，
一個亞西格瑪代數，然後，從Jensen不等式的條件版本中，可以得到
，相對於θ的期望值δ在所有可能的觀察值向量X上都可以與觀察到的相同的T（X）值相匹配。
這個結果被稱為Rao-Blackwell定理。
