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赫爾德不等式
鎖定
- 中文名
- 赫爾德不等式
- 外文名
- Hölder inequality
- 所屬學科
- 泛函分析
- 類 別
- 不等式
- 創建者
- 赫爾德
- 表現形式
- 離散形式和積分形式
赫爾德不等式定義
設p,q,r∈[1,∞]，
。對任意S∈
與T∈
，有ST∈
，與
赫爾德不等式離散的不等式
赫爾德不等式不等式定義
赫爾德不等式等號成立條件
證明：記
,則式子
即
因為f(x)=lnx(x>0)是向上凸函數（因為
)，由加權Jensen不等式，可得
所以
把上式對i到m求和 得：
從而命題得證。
赫爾德不等式連續的不等式
假設
，
。如果
，
，那麼
赫爾德不等式離散形式
(有限和和無窮和)
赫爾德不等式內容
設
或
為實數或複數列，a叫做多重指標，令
滿足條件的p，q稱為共軛指數，q=1是規定p=∞,
若1≤p≤∞，則
赫爾德不等式成立條件
赫爾德不等式積分形式
赫爾德不等式內容
設p、q為共軛指數，令
若
當
時，
,且
即
，
…………………… ①
赫爾德不等式成立條件
赫爾德不等式證明
如果||f||p= 0，那麼f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q=0也是這樣。因此，可以假設||f||p>0且||g||q>0。
如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那麼不等式的右端為無窮大。因此，可以假設||f||p和||g||q位於(0,∞)內。
如果p= ∞且q= 1，那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p=1和q=∞，情況也類似。因此，還可以假設p,q∈ (1,∞)。
分別用f和g除||f||p||g||q，可以假設：
現在使用楊氏不等式：
對於所有非負的a和b，當且僅當時
等式成立。
因此：
兩邊積分，得：
這便證明了赫爾德不等式。
在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有
。更一般地，如果||f||p和||g||q位於(0,∞)內，那麼赫爾德不等式變為等式，當且僅當存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得：
μ-幾乎處處(*)
