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權方和不等式
鎖定
權方和不等式基本信息
權方和不等式簡介
權方和不等式
是一個數學中重要的不等式。
權方和不等式
權方和不等式形式
對於
：
- 當
- 當
- 當
其中n是正整數。
權方和不等式證明
其證明需要用到赫爾德（Hölder）不等式。
權方和不等式赫爾德不等式
（特殊情形）
對於實數p和q，若p≥1，q＜+∞，且
，
則對於所有實數或複數
和
恆有
（簡寫作
）；
當且僅當
時，等號成立。
權方和不等式第一式證明
∵
，
∴m＞0或m＜－1。
（1）設
，
，
，
。
m＞0時，p＞1，q＜+∞成立，且
。
∴對於
，恆有：
，
也就是
。
不等式兩邊同時取(m+1)次冪，得到：
（2）另設
，
，
，
當m＜－1，q＜+∞成立，且
。
∴對於
，恆有：
也就是
。
不等式兩邊同時取m次冪，此時不等號方向改變：
權方和不等式第二式證明
m僅－1和0兩種取值。
m=0時，原式簡化為
，顯然成立；
m=－1時，原式簡化為
，顯然成立。
第二式得證。
權方和不等式第三式證明
設
，
，
，
。
當
時，
。
此時p＞1，q＜+∞成立，
。
∴對於
，恆有：
，
也就是
。把負數指數冪換成分數形式，不等式左右兩邊交換，不等號變號，即得
第三式得證。
證畢。
權方和不等式取等號的條件
赫爾德不等式取等號的條件是：
當且僅當
時等號成立。
所以第一式中，取等號的條件分別是：
當m＞0時：
。
當m＜－1時：
。
第三式中，取等號的條件是：
當
時：
權方和不等式其他信息
權方和不等式進一步説明
權方和不等式是在高中競賽中很有用的一個不等式，常用來處理分式不等式。
其中m稱為不等式的權，特點是分子次數比分母高一次。
欲證原不等式成立，只需證
該不等式等價於（恆等變換為柯西不等式的一般形式）
由柯西不等式的一般形式，得
不等式左邊
不等式右邊，得證。
權方和不等式應用
- 參考資料
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- 1. 證明的原始出處:
