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基本不等式
鎖定
- 中文名
- 基本不等式
- 外文名
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Inequality of arithmetic and geometric means
AM–GM inequality - 別 名
- 二元均值不等式
- 別 名
- 算數 - 幾何平均值不等式
- 表達式
- (a+b)/2≥√(ab)
- 適用領域
- 不等式方程
- 應用學科
- 數學
基本不等式概念
基本不等式公式
基本不等式原型
注：當且僅當a=b時取等
其中
稱為
的算術平均數，
稱為
的幾何平均數。
基本不等式變形
1、
（當且僅當
時取等號）（a＞0，b＞0）
2、
3、
基本不等式二元均值不等式
（調和均值≤幾何均值≤算術均值≤平方均值）當且僅當a=b時等號成立
基本不等式常用不等式
基本不等式證明
基本不等式算術證明
即當且僅當a=b時，
基本不等式幾何證明
在△ABC中，∠BAC=90°，點D為BC的中點，AE為高，設BE=a，EC=b
由射影定理，得AE²=ab
∴AE=
∵在△ABC中，點D為斜邊BC的中點
∴
∵ 在Rt△ADE中，AD≥AE
△ABC
基本不等式推廣
一般地，若
是正實數，則有均值不等式
當且僅當a=b時
取等號
基本不等式應用
基本不等式和積互化
和定積最大
當
一定時，
，且當
時取等號
積定和最小
當
一定時，
，且當
時取等號
基本不等式求解最值
例：求
在
的最小值
解：由基本不等式可得，
當
即
時取等號
答：當
時，
在
有最小值
基本不等式兩類最值問題
具體來説，利用基本不等式求最值包括下面兩種類型的題目：
已知x＞0；y＞0，則：
如果積xy是定值p，那麼當且僅當x=y時，x+y有最小值
。(簡記：積定和最小，即x+y≥
)
如果和x+y是定值p，那麼當且僅當x=y時，xy有最大值
。(簡記：和定積最大)
基本不等式技巧
“1”的妙用。題目中如果出現了兩個式子之和為常數，要求這兩個式子的倒數之和的最小值，通常用所求這個式子乘以1，然後把1用前面的常數表示出來，並將兩個式子展開即可計算。如果題目已知兩個式子倒數之和為常數，求兩個式子之和的最小值，方法同上。
調整係數。有時候求解兩個式子之積的最大值時，需要這兩個式子之和為常數，但是很多時候並不是常數，這時候需要對其中某些係數進行調整，以便使其和為常數。
