伯努利不等式

對實數x>-1， ^[1] 

在

時，有

成立；

在

時，有

成立。

可以看到等號成立當且僅當n = 0,1，或x = 0時。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

伯努利不等式的一般式為

（對於任意

都有

且

,即所有

同號且大於等於-1） 當且僅當n=1時等號成立。

設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx。 ^[2] 

證明：

先證明對所有正整數不等式成立。用數學歸納法：

當n=1，上個式子成立，

設對n-1，有：

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。

則

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2

>=1+nx

就是對一切的自然數，當

x>=-1，有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

這個不等式可以直接通過微分進行證明，方法如下：

如果r=0，1，則結論是顯然的

如果r≠0，1，作輔助函數f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那麼f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 則f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情況討論：

1. 0 < r < 1，則對於x > 0，f'(x) < 0；對於 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。嚴格遞增，因此f(x)在x = 0處取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，則對於x > 0，f'(x) > 0；對於 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。嚴格遞減，因此f(x)在x = 0處取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

證畢。

伯努利不等式雖然是一個很初等的不等式，但它的應用卻非常廣泛。伯努利不等式簡潔方便，能降低次數，可以將高次冪變為低次冪，簡化運算。此外，伯努利不等式常被用作證明其它不等式的關鍵步驟，它本身可以用數學歸納法來證明。伯努利不等式在證明數列極限、函數的連續和單調性以及在其他不等式的證明和級數的收斂性等方面都有着極其廣泛的應用。 ^[3] 

下述不等式從另一邊估計

：對任意

，都有

。

我們知道

（ x>0），因此這個不等式是平凡的。