-
數形結合
(數學思想)
鎖定
- 中文名
- 數形結合
- 外文名
- The combination of number and shape
- 類 別
- 數學思想
數形結合基本思想
中國著名數學家華羅庚曾説過:“數形結合百般好,隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數形結合,主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來,通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而實現優化解題途徑的目的。
數形結合實際用途
數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一,應用數形結合的思想,可以解決以下問題:
數形結合集合問題
數形結合函數問題
數形結合方程與不等式
數形結合三角函數
數形結合線性規劃
數形結合數列問題
數形結合解析幾何
數形結合立體幾何
數形結合絕對值問題
數形結合分數應用
運用畫線段的方法來更簡便地瞭解題目意思,使思維更加清晰。
數形結合應用方法
數形結合應用要點
1. 數形結合是數學解題中常用的思想方法,數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助於把握數學問題的本質;另外,由於使用了數形結合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。
2. 所謂數形結合,就是根據數與形之間的對應關係,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想,實現數形結合,常與以下內容有關:(1)實數與數軸上的點的對應關係;(2)函數與圖象的對應關係;(3)曲線與方程的對應關係;(4)以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念,如複數、三角函數等;(5)所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。如等式 。
3. 縱觀多年來的高考試題,巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題,可起到事半功倍的效果,數形結合的重點是研究“以形助數”。
4. 數形結合的思想方法應用廣泛,常見的如在解方程和解不等式問題中,在求函數的值域、最值問題中,在求複數和三角函數解題中,運用數形結思想,不僅直觀易發現解題途徑,而且能避免複雜的計算與推理,大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越,要注意培養這種思想意識,要爭取胸中有圖見數想圖,以開拓自己的思維視野。
5、數形結合思想的論文
數形結合思想簡而言之就是把數學中“數”和數學中“形”結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地説就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來,使抽象思維與形象思維結合起來,通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學的解題中,主要有三種類型:以“數”化“形”、以“形”變“數”和“數”“形”結合。
數形結合應用類型
(1)以“數”化“形”
由於“數”和“形”是一種對應,有些數量比較抽象,我們難以把握,而“形”具有形象,直觀的優點,能表達較多具體的思維,起着解決問題的定性作用,因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來,利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”,這種模式是指數與形的一種特定關係或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題,並通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法,就是圖形分析法。數量問題圖形化是數量問題轉化為圖形問題的條件,將數量問題轉化為圖形問題一般有三種途徑:應用平面幾何知識,應用立體幾何知識,應用解析幾何知識將數量問題轉化為圖形問題。解一個數學問題,一般來講都是首先對問題的結構進行分析,分解成已知是什麼(條件),要求得到的是什麼(目標),然後再把條件與目標相互比較,找出它們之間的內在聯繫。因此,對於“數”轉化為“形”這類問題,解決問題的基本思路: 明確題中所給的條件和所求的目標,從題中已知條件或結論出發,先觀察分析其是否相似(相同)於已學過的基本公式(定理)或圖形的表達式,再作出或構造出與之相適合的圖形,最後利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等,聯繫所要求解(求證)的目標去解決問題。
(2)以“形”變“數”
雖然形有形象、直觀的優點,但在定量方面還必須藉助代數的計算,特別是對於較複雜 的“形”,不但要正確的把圖形數字化,而且還要留心觀察圖形的特點,發掘題目中的隱含條件,充分利用圖形的性質或幾何意義,把“形”正確表示成“數”的形式,進行分析計算。
解題的基本思路: 明確題中所給條件和所求的目標,分析已給出的條件和所求目標的特點和性質,理解條件或目標在圖形中的重要幾何意義,用已學過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數式表達出來,再根據條件和結論的聯繫,利用相應的公式或定理等。
(3)“形”“數”互變
“形”“數”互變是指在有些數學問題中不僅僅是簡單的以“數”變“形”或以“形”變“數”而是需要“形”“數”互相變換,不但要想到由“形”的直觀變為“數”的嚴密還要由“數”的嚴密聯繫到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結論同時出發,認真分析找出內在的“形”“數”互變。一般方法是看“形”思“數”、見“數”想“形”。實質就是以“數”化“形”、以“形”變“數”的結合。
數形結合思想是一種可使複雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。要想提高學生運用數形結合思想的能力,需要教師耐心細緻的引導學生學會聯繫數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想。