代數式

代數式是一種常見的解析式，對變數字母僅限於有限次代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）的解析式稱為代數式，例如

等都是代數式，單獨的一個數或字母也稱為代數式。

注意：

1、不包括等於號（=、≡）、不等號（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、約等號≈。

2、可以有絕對值。例如：|x|，|-2.25| 等。

關於代數式的分類應注意以下兩點：

1、要按代數式給出的初始形式分類，例如

雖然可以化簡為

，但它仍然是分式；又如

雖然可以化簡為 x²，但它仍然是無理式。

2、要按實施於指定的變數字母的運算分類。例如對於變數字母 x ，式子

是有理式，式子

是無理式。

代數式概念的形成與發展經歷了一個漫長的歷史過程，13世紀，斐波那契（Fibonacci,L.）就開始採用字母表示運算對象，但尚未使用運算符號，韋達（Viete,F.）於 1584-1589年間，引入數學符號系統，使代數成為關於方程的理論，因而人們普遍認為他是代數式的創始人，笛卡兒（Descartes,R.）對韋達的字母用法作了改進，用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知數，用末尾的一些字母 x,y,z,... 表示未知數，萊布尼茨（Leibniz,G,W.）對各種符號記法進行了系統研究，發展並完善了代數式的表示方法。 ^[1] 

在實數範圍內，代數式分為有理式和無理式。

有理式包括整式（除數中沒有字母的有理式）和分式（除數中有字母且除數不為0的有理式）。這種代數式中對於字母只進行有限次加、減、乘、除和整數次乘方這些運算。

整式有包括單項式（數字或字母的乘積，或者是單獨的一個數字或字母）和多項式（若干個單項式的和）。

1.單項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。

單項式的係數：單項式中的數字因數叫做單項式（或字母因數）的數字係數，簡稱係數。

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

2.多項式

幾個單項式的代數和叫做多項式；多項式中每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數項。

多項式的次數：多項式裏，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。齊次多項式：各項次數相同的多項式叫做齊次多項式。

不可約多項式：次數大於零的有理係數的多項式，不能分解為兩個次數大於零的有理數係數多項式的乘積時，稱為有理數範圍內不可約多項式。實數範圍內不可約多項式是一次或某些二次多項式，複數範同內不可約多項式是一次多項式。

對稱多項式：在多元多項式中，如果任意兩個元互相交換所得的結果都和原式相同，則稱此多項式是關於這些元的對稱多項式。

同類項：多項式中含有相同的字母，並且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。

我們把含有字母的根式、字母的非整數次乘方，或者是帶有非代數運算的式子叫做無理式。無理式包括根式和超越式。我們把可以化為被開方式為有理式，根指數不帶字母的代數式稱為根式。

我們把有理式與根式統稱代數式，把根式以外的無理式叫做超越式。

(1)兩字母相乘、數字與字母相乘、字母與括號相乘以及括號與括號相乘時，乘號都可以省略不寫，如：“x與y的積”可以寫成“xy”；“a與2的積”應寫成“2a”，“m、n的和的2倍”應寫成“2(m+n)”。

(2)字母與數字相乘或數字與括號相乘時，乘號可省略不寫，但數字必須寫在前面.例如“x×2”要寫成”2x”，不能寫成“x2”；“長、寬分別為a、b的長方形的周長”要寫成“2(a+b)”，不能寫成“(a+b)2”。

(3)代數式中不能出現除號，相除關係要寫成分數的形式

(4)數字與數字相乘時，乘號（也可以寫作 · ）仍應保留不能省略，或直接計算出結果.例如“3×7xy”不能寫成“37xy”，應當寫成“21xy”。

合併同類項：把多項式中同類項合併成一項，叫做合併同類項。合併同類項的法則是：同類項的係數相加，所得的結果作為係數，字母和字母的指數不變。

去括號法則：括號前足“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號裏各項都不變符號；括號前是“—”號，把括號和它前面的“—”號去掉，括號裏各項都改變符號。

添括號法則：添括導後，括號前面是“+”號，括到括號裏的各項都不變符號；添括號後，括號前面是“—”號，

括到括號裏的各項都改變符號。

在古代，當算術裏積累了大量的，關於各種數量問題的解法後，為了尋求有系統的、更普遍的方法，以解決各種數量關係的問題，就產生了以解代數方程的原理為中心問題的初等代數。

代數（algebra）是由算術（arithmetic）演變來的，這是毫無疑問的。至於什麼年代產生的代數學這門學科，就很不容易説清楚了。比如，如果你認為“代數學”是指解bx+k=0這類用符號表示的代數方程的技巧。這種“代數學”是在十六世紀才發展起來的。

如果我們對代數符號不是要求象現在這樣簡練，那麼，代數學的產生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀古希臘數學家刁藩都看作是代數學的鼻祖。而在中國，用文字來表達的代數問題出現的就更早了。

“代數”作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數學家裏李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣麼甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數學》。當然，代數的內容和方法，我國古代早就產生了，比如《九章算術》中就有方程問題。

初等代數的中心內容是解代數方程，因而長期以來都把代數學理解成有關代數方程的科學，數學家們也把主要精力集中在代數方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。

要討論代數方程，首先遇到的一個問題是如何把實際中的數量關係列出帶有未知數的代數式，然後根據等量關係列出代數方程。所以初等代數的一個重要內容就是代數式。由於事物中的數量關係的不同，大體上初等代數形成了整式、分式和根式這三大類代數式。代數式是數的化身，因而在代數中，它們都可以進行四則運算，服從基本運算定律，而且還可以進行有理數指數的乘方和開方兩種新的運算。通常把這六種運算叫做代數運算，以區別於只包含四種運算的算術運算。

在初等代數的產生和發展的過程中，通過代數方程的研究，也促進了數的概念的進一步發展，將算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的範圍，使數包括正負整數、正負分數和零。這是初等代數的又一重要內容，就是數的概念的擴充。

有了有理數，初等代數能解決的問題就大大的擴充了。但是，有些代數方程在有理數範圍內仍然沒有解。於是，數的概念在一次擴充到了實數，進而又進一步擴充到了複數。

那麼到了複數範圍內是不是仍然有代數方程沒有解，還必須把複數再進行擴展呢？數學家們説：不用了。這就是代數里的一個著名的定理——代數基本定理。這個定理簡單地説就是n次方程有n個根。1742年12月15日瑞士數學家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述，後來另一個數學家、德國的高斯在1799年給出了嚴格的證明。