平方數

平方數也稱正方形數，若n為平方數，將n個點排成矩形，可以排成一個正方形。 ^[2] 

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如，

。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因子，則稱其為無平方數因數的數。

最小的50個完全平方數為（OEIS中的數列A000290）：

1² = 1， 2² = 4 ，3² = 9， 4² = 16， 5² = 25， 6² = 36 ，7² = 49 ，8² = 64 ，9² = 81 ，10² = 100，

11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14² = 196 ，15² = 225， 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400，

21² = 441 ，22² = 484， 23² = 529 ，24² = 576， 25² = 625 ，26² = 676， 27² = 729 ，28² = 784 ，29² = 841， 30² = 900，

31² = 961， 32² = 1024， 33² = 1089 ，34² = 1156 ，35² = 1225， 36² = 1296 ，37² = 1369 ，38² = 1444， 39² = 1521 ，40² = 1600，

41² = 1681， 42² = 1764 ，43² = 1849， 44² = 1936， 45² = 2025 ，46² = 2116 ，47² = 2209 ，

48² = 2304 ，49² = 2401， 50² = 2500。

著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象：從1開始將連續奇數相加，每次的得數正好就產生完全平方數。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……在奇數和平方數之間有着密切的重要聯繫。一個整數是完全平方數當且僅當相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

對於一個整數 n，它的平方寫成 n²。n²等於頭 n個正奇數的和。在上圖中，從1開始，第 n個平方數表示為前一個平方數加上第 n個正奇數，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數：9。

每個完全平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

完全平方數還可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的完全平方數非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704。