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剩餘類環
鎖定
剩餘類環是有理整數環的剩餘類環Z/mZ的推廣。設{F,S}為普通算術域,且F對S中每一賦值的剩餘類域均為有限域,設O為F的S整數環,A,B為O的理想,記N(A)=#(O/A),稱為A的範數,它是積性的,O/A有許多類似於Z/mZ的性質:1.bx≡c(mod A)有解當且僅當(b,A)除盡c,且模A/(b,A)解惟一(式中b,c,x∈O);2.以Φ(A)記環O/A中單位元個數,若(A,B)=1,則Φ(AB)=Φ(A)Φ(B),且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p)),式中p|A過素理想∑Φ(B)=N(A),式中B|A過理想;3.若b∈O,(b,A)=1,則bΦ(A)≡1(mod A)
[1]
。
- 中文名
- 剩餘類環
- 外文名
- ring of residue classes
- 所屬學科
- 數學
- 所屬領域
- 數論(代數數論)
- 相關概念
- 剩餘類域、整數環、範數等
剩餘類環定義
設A是環R的一個理想,若把A,R看作加羣,這樣A是R的一個不變子羣,且由A的陪集a+A=[a],b+ A=[b],..作成R的一個分類,這些類叫做模A的剩餘類。而所有這些類組成的集作成一個環,叫做模A的剩餘類環,記作R/A。
比如,(n)是Z的一個理想,由(n)的陪集0+(n)=[0],1+(n)=[1],2+(n)=[2],...,n-1+(n)= [n-1]作成Z的一個分類,且集合{[0],[1],...,[n-1]}作成一個剩餘類環Z/(n),也就是Zn。可見,一般的剩餘類環是模n的剩餘類環Zn的推廣
[2]
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剩餘類環實例分析
我們將給出剩餘類環這個重要概念的另一個實例。令F是一個實數域,並且考慮環F[x]中的理想n= (x2+1),如果f(x)是F[x] 的任意元素,那麼由除法變換我們有:f(x)=g(x)(x2+1)+a+bx,此處a和b都是實數,因此,對模n的每一個剩餘類所包含的是零或者至多是一次的多項式,而且a+bx和c+dx在不同的剩餘類中,除非是a=c和b=d,因為除了在這種情況下,a+bx≡c+dx(n)是不可能的,這樣F[x}/n的不同元素的確就是剩餘類
另外一個實例可能是有趣的,令
是一個整數環,而m是多項式環
中的理想(2,x2+x+1),利用前面例子的論證,以x2+x+1代替x2+1,可以看出,對模m的任一個剩餘類包含一個形如a+bx的元素,此處a和b都是整數,然而在這種情況下,m包含整數2,因而每一個整數對模m的同餘不是0就是1,因此剛好有4個剩餘類,就是
剩餘類環相關定理
剩餘類環定理1
比如,整數環Z與模n的剩餘類環Zn同態,即Z~Zn;反之,如
是Z到Zn的同態滿射,即
,且
的核A=(n),所以
。
剩餘類環定理2
若環
~環
,則
①R的一個子環S的象
是
的一個子環;
②R的一個理想A的象
是
的一個理想;
③
的一個子環
的逆象S是R的一個子環;