準素理想

準素理想(primary ideal)是一種特殊的理想。理想論中理想分解的基礎。設Q是交換環R的理想且Q≠R，如果對R中任意元素x，y，xy∈Q且x∉Q，恆有正整數n，使得y∈Q，則稱Q是R的準素理想。素理想是準素理想，但素理想的冪未必是準素理想。

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I; ^[2] 

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與麼元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

理想論是與環的理想密切相關的理論。它是交換環理論的重要部分。20世紀20年代初，由諾特(Noether，E.)所建立的一般交換環上理想的準素分解理論與20世紀30年代克魯爾(Krull，W.)的局部環與維數理論。這一理論使古典幾何建立在堅實的代數基礎之上，形成了代數幾何這門學科.理想論也是代數數論的重要工具。

素理想是一類特殊理想。它是整數環中素數生成理想的推廣。設P是環R的理想，對R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，則稱P為R的素理想。它等價於對x，y∈R，若xRyP則x∈P或y∈P。當R是交換環時，P是R的素理想當且僅當對R中任意元素a，b，若ab∈P，則a∈P或b∈P。素理想在交換環的理想理論中有重要作用。若對任意環R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，則稱P為R的完全素理想。因此，對交換環來説，素與完全素概念是一致的。 ^[2] 

相伴素理想(associated prime ideal)是一種特殊的素理想。包含給定準素理想的最小素理想。若Q是環R的準素理想，則Q的根

=P是包含Q的最小素理想，稱P是Q的相伴素理想，也稱屬於Q的素理想。而Q稱為P準素理想。P準素理想的交仍為P準素理想。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類.如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。 ^[3]