根理想

設R是交換幺環，I是R的理想。我們可以通過I來構造更大的√I：a∈√I 當且僅當存在某個正整數n，使得aⁿ∈I。我們稱√I為理想的根。若理想本身也是理想的根，則稱為根理想。 ^[1] 

1. I總是含於√I內。

2. 根理想的根就是根理想本身。

3.素理想是根理想。 ^[1] 

1. R=F[x]是域F上的多項式環，I=(x²)是由x²生成的多項式理想，那麼√I=(x), 即由x生成的理想.

2. R=Z是整數環， I=(27)是由27的倍數構成的主理想，那麼√I=(3)是素理想。

一個理想I稱作準素理想， 如果它的根理想是素理想。一個理想可以唯一分解為準素理想的乘積--這是整數上的算術基本定理的推廣。

設V為仿射簇，則集合

為多項式環

的理想。 ^[1] 

希爾伯特零點定理表明，

，即代數簇的範疇與根理想的範疇之間存在一一對應關係。

從方程角度看， 根理想相當於把那些多項式的方冪開根後也納入到理想之中。

李代數存在唯一的極大可解理想，稱為李代數的根理想，記作RadL。

RadL=0的李代數稱為半單李代數。L/RadL為半單李代數。 ^[2]