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穩定同倫羣
鎖定
羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。基本羣亦稱一維同倫羣。
同倫羣(homotopy groups)是基本羣的高維推廣。基本羣是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。
穩定同倫羣(stable homotopy group)是一種特殊的同倫羣。
- 中文名
- 穩定同倫羣
- 外文名
- stable homotopy group
- 領 域
- 代數
- 性 質
- 特殊的同倫羣
- 同倫羣
- 基本羣的高維推廣
- 特 點
- 懸垂同態
穩定同倫羣概念
穩定同倫羣羣
羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法),構成一個羣。
滿足交換律的羣,稱為交換羣。
羣是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在羣。例如,可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説,不瞭解羣,就不可能理解現代數學。
穩定同倫羣同倫羣
同倫羣(homotopy groups)是基本羣的高維推廣。基本羣是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體:
[2]
存在i使得
,
設X為拓撲空間,x0∈X,用Mn(X,x0)表示全體連續映射α:(
,
)→(X,x0)所成的集合,α和α′相對於I的同倫關係αα′是Mn(X,x0)上的一個等價關係,它把Mn(X,x0)的元素分成一些同倫等價類,用πn(X,x0)表示這些等價類所成的集合.定義映射α*β:(I,I)→(X,x0),使得:
從而,α*β∈Mn(X,x0),並且,若α∽α′,β∽β′,則:
因此,可在πn(X,x0)中定義運算:
穩定同倫羣基本羣
基本羣亦稱一維同倫羣。對一個拓撲空間聯繫一個羣的代數結構。在拓撲空間X中對於以同一點x0為基點的兩條閉道路α和β可引入乘法*:
[α]°[β]=[α*β],
這種定義是有意義的,並且以x0為基點的全體閉路同倫類在引入這種乘法後構成一羣,稱為X的以x0為基點的基本羣,記為π1(X,x0).基本羣可以不是交換羣.對於道路連通空間X,其基本羣與基點的選取無關,記為π1(X).對於兩個拓撲空間X與Y之間的連續映射f:(X,p)→(Y,q),它與X內以p為基點的閉路α的複合映射f°α是Y內以q為基點的閉路,並且兩條同倫的閉路與f的複合得出兩條同倫的閉路,因此,按照f*([α])=[f°α]定義映射:
f*: π1(X,p)→π1(Y,q),
於是f*為同態,稱為f誘導的同態.由此得出基本羣是拓撲不變量,進而基本羣也是同倫型不變量。
計算基本羣常常是將所討論的空間“歸結”或“分解”為更簡單的空間以算出其基本羣,這些常見的方法有:
1.利用基本羣的同倫型不變性.
2.對於乘積空間可利用結論:當X和Y為道路連通空間時,π1(X×Y)
π1(X)×π1(Y).
3.利用覆疊空間理論.
4.利用範卡彭定理:若K是連通的復形,K0,K1,K2都是K的連通的子復形,使得
範卡彭定理適用於可剖分空間,並可推廣到更一般的加一定限制的拓撲空間。例如,用以上方法可得到圓周S的基本羣為π1(S)Z,可縮空間的基本羣為平凡羣,默比烏斯(Mo¨bius,A.F.)帶M的基本羣π1(M)Z,環面T的基本羣為π1(T)Z×Z,n維球面S(n≥2)的基本羣π1(S)為平凡羣,以及克萊因瓶K的基本羣π1(K){t,u|tut=u}(或{a,b|a=b}),這裏Z表示整數加羣。
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