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零元

鎖定
設*是定義在集合S上的一個二元運算，如果有一個元θl∈S，使得對於任意的元素x∈A都有θl*x=θl，則稱θl為S中關於運算*的左零元；如果有一元素θr∈S，對於任意的元素x∈S都有x*θr=θr，則稱θr為S中關於運算*的右零元；如果S中有一元素θ，它既是左零元又是右零元，則稱θ為S中關於運算*的零元。 [1] 
中文名
零元
外文名
zero element
所屬學科
離散數學
相關概念
左零元、右零元、二元運算等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關性質
  3. 3 例題解析

零元定義

設
是一個代數系統，
是集合A上的一個二元運算。
(1) 若存在元素
，對一切
都有
，則稱
為A中關於運算
的左零元(left zero)；
(2) 若存在元素
，對一切
都有
，則稱
為A中關於運算
的右零元(right zero)；
(3)若存在元素
，對一切
都
，則稱
為A中關於運算
的零元(zero element)。 [2] 

零元相關性質

定理1 設
是一個代數系統，
是集合A上的一個二元運算。若A中有關於運算
的左零元
與右零元
，則
，且A中零元唯一。
證明:
。
假設A中有兩個零元
與
，則
。
定理2 設
是一個代數系統，
是集合A上的一個二元運算，且A中元素的個數不小於2。若該代數系統中存在幺元e和零元
，則
。
證明：假設
，則對任意a∈A，有
於是，集合A中所有元素都相同，這與A中元素的個數不小於2相矛盾。 [2] 

零元例題解析

例1 設代數系統
，其中P(A)是有限集合A的冪集，
是集合的交與並運算。則
的幺元為A，零元為
；則
的幺元為
，零元為A。
例2 設代數系統
，其中R是實數集，+與×是實數加與乘運算。則+的幺元為0，且沒有零元；則×的幺元為1，零元為0。
例3 設
，定義集合A上的兩個二元運算
和△分別如表1與表2所示。則1，2均是運算的右零元。2是△運算的零元。 [2] 
表1<br>
1
2
3
4
1
1
2
4
1
2
1
2
3
4
3
1
2
3
4
4
1
2
3
4
表2<br>
△
1
2
3
4
1
2
2
1
4
2
2
2
2
2
3
1
2
3
4
4
1
2
4
3
參考資料
  • 1.    程顯毅，李醫民．離散數學與算法化思維：清華大學出版社，2013.12
  • 2.    殷劍宏，金菊良．離散數學：機械工業出版社，2013.05