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環同態
鎖定
環同態定義
- f(a + b) = f(a) + f(b),對於R內的所有a和b;
- f(ab) = f(a) f(b),對於R內的所有a和b;
如果我們不要求環具有乘法單位元,則最後一個條件不需要。
環同態性質
- f(0) = 0
- f(−a) = −f(a)
- 如果a在R內具有乘法逆元,則f(a)在S內具有乘法逆元,且有f(a) = (f(a))。
- f的核,定義為ker(f) = {ainR:f(a) = 0},是R內的一個理想。每一個交換環R內的理想都可以從某個環同態用這種方法得出。對於具有單位元的環,環同態的核是一個沒有單位元的子環。
- 環同態f是單射,當且僅當ker(f) = {0}。
- f的像,im(f),是S的一個子環。
- 如果f是雙射,那麼它的逆映射f也是環同態。在這種情況下,f稱為同構。在環論的立場下,同構的環不能被區分。
- 如果存在一個環同態f:R→S,那麼S的特徵整除R的特徵。這有時候可以用來證明在一定的環R和S之間,不存在環同態R→S。
- 如果R是一個域,則f要麼是單射,要麼是零函數。(但是,如果f保持乘法單位元,則它不能是零函數)。
- 如果R和S都是域,則im(f)是S的一個子域(如果f不是零函數)。
- 如果R和S是交換環,S是一個域,且f是滿射,則ker(f)是R的一個最大理想。
環同態其它
環同態例子
- 函數f:Z→Zn,由f(a) = [a]n=amodn定義,是一個滿射的環同態,它的核為nZ。
- 當n> 1時,不存在環同態Zn→Z。
環同態種類
- 雙射的環同態稱為“環同構”。
- 定義域與值域相同的環同態稱為“環自同態”。
在環範疇中,單射的環同態與單同態是相等的:如果f:R→S是單同態而不是單射,則它把某個r1和r2映射到S的同一個元素。考慮從Z[x]到R的兩個映射g1和g2,分別把x映射到r1和r2;fog1和fog2是相等的,但由於f是單同態,這是不可能的。
然而,在環範疇中,滿射的環同態與滿同態是非常不同的。例如,Z⊆Q是滿同態,但不是滿射。