分式理想

設K是整環R的商域。若I是R模K的子模，並且存在R中非零元a使得

，則稱I為R的一個分式理想。 ^[4] 

有時為了區別，把R的理想稱為整理想。整理想都是R的分式理想。若δ₁，δ₂，…，δ_n是K中元素，則δ₁R+δ₂R+…+δ_nR是R的分式理想，稱為由δ₁，δ₂，…，δ_n所生成的分式理想。特別地，由K中一個元素δ生成的分式理想δR稱為R的主分式理想，也記為(δ)。當a∈R時，主分式理想(a)就是主整理想。 ^[1] 

R的可逆分式理想為R上有限生成模。 ^[4] 

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與麼元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

非退化為{0}且沒有0因子的交換環稱為整環。

環Z是整環。設n為非零自然數；為使環Z/nZ為整環，必須且只須n是素數。任一交換體是整環對任一整環A，係數取自A中含一個未定元的全體多項式之環A[X]，係數取自A中的全體形式級數之環A[[X]]都是整環。由此推知，係數取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環K[X₁，X2，…，Xp]及含p個未定元的全體形式級數之環K[[X1，X2，…，Xp]]都是整環。 ^[2] 

商域一類特殊且重要的域。包含給定整環的最小域。從整環構作商域的方法類似於由整數環構作有理數域。設R是整環，R°=R\{0}，在卡氏積R×R°中定義等價關係：

(a，b)～(c，d)ad=bc.

將R×R°中元素按等價關係分類，用a/b表示(a，b)所在的等價類.若F是全體等價類的集合，並在F中規定加法和乘法運算：

則F構成一個域。而a→aq/q，q∈R°是R到F的一個同構嵌入映射。因此，R可視作F的子環。如此所構造的域F稱為R的商域，或稱為R的分式域。R中非零元皆為F中可逆元。商域的重要性在於常可通過商域F去研究環R。

模是一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M。給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算.任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模，以下設A模都是酉模。 ^[3]